乱谈Peter Walters《An introduction to Ergodic Theory》必备基础

        我想这里主要介绍的时Peter Walters的书《An introduction to Ergodic Theory》,对他本人感兴趣的读者可以参见他的主页。我个人认为就著书风格而言,中国科大的徐森林教授比较接近Peter Walters.

       我身边有些人觉得这本书不太好读,有几个人甚至半途而废。分析其主要原因可能就是缺乏一定量的数学基础知识导致。这本书所需要的一些数学基础必备知识罗列如下:

1:相对深厚的测度论基础,对于 $\pi $ 系, $\lambda$ 系,单调类定理可以熟练应用,应该说这是测度论中最为基本的知识。对于其后验证某个对应的变换是否保测,需要至少灵活这些内容,否则当你学了一段时间之后,仍然无法验证一个测度空间的 two sided markov shift,one side shift 等都是保测变换时,是非常打击士气的。总之测度论是读这本书的必备基础。对于这一点不甚熟悉的读者,可以参阅严世建和刘秀芳编著的《测度与概率》一书,里面几乎有了 Peter Walters 书里全部的测度论必备基础。并且严刘书中的很多证明匠心独具,很有启发性。没有涉及到的知识恐怕也就是一些类似 Lebesgue space,Boral space 的东西,不过这些在 Peter Walters 的书里也是一带而过,我比较感兴趣的一个就是其中一个神似 $C[0,1]$ 万有定理的平行的测度论中的一个结果。
 
2:相对深厚的泛函分析(弱拓扑,弱${}^\ast$ 拓扑)基础,虽然这里讲的是泛函分析基础,但是文中真正要紧的是弱拓扑基础,和弱${}^\ast$ 拓扑基础,因为当你考虑把 Ergodic Theory 运用到拓扑动力系统 $(X,T)$ ($X$ 为紧致空间,$T$ 为连续映射,目前大部分理论都是处理紧致空间的理论,Peter Walters 的书中全部讨论的都是紧致空间,非紧空间的理论极少),这就自然需要不变测度的引进,弱${}^\ast$ 拓扑下的诱导算子弱${}^\ast$ 拓扑下的紧性,使得 Schauder 不动点的运用顺理成章。但是现阶段可能很少本科生的泛函分析会涉及弱拓扑和弱${}^\ast$ 拓扑,并且中国式的泛函教材里面讨论的往往是弱收敛和弱${}^\ast$ 收敛(序列意义下),而一般拓扑未必能用序列刻画。而我们太多的教材停留在举例子的层次来说明两种定义的强弱,导致很多中文专著在叙述弱拓扑时候都犯很严重的失误。这方面真正有见地的讲述可参考 Conway 的泛函分析里面弱拓扑的章节。
 
需要指明一点的就是 Conway 书中关于弱拓扑即 Peter Walters 书中的弱${}^\ast$ 拓扑,这是一个很有意思的现象,从事概率论的人喜欢称对应的为弱收敛,而基本上很多遍历论的书喜欢称其为弱${}^\ast$ 收敛,当然初学的时候可能会天真的认为属于作者的用词习惯问题,但是需要指明的是这两种用法其实都对,更深的层次是格罗滕迪克50年代的一个泛函分析的结果,$(l^{ \infty}) ^{*}$ 上的弱拓扑和弱${}^\ast$ 拓扑等价。当然想知道 $l^{ \infty }$ 对偶空间是什么,据我所知中文的书里面好像目前只看到严加安先生的测度论讲义中讨论这个问题。
 
3:特征标理论和群上的调和分析初步
只要略微学过些紧群的表示论会有很大帮助,尤其是当讨论在某些局部紧的可度量的群上的遍历,weak mixing,strong mixing时,特征标理论+谱理论这两个工具在遍历论的结合真的是非常有意思,当然这一部分基础一般可以在群上的调和分析中获得,例如 Deitmar 的调和分析
 
4:positive matrix and non-negative matrix
矩阵的性质,将会影响 symbolic system 的动力学性质,颇为有趣,这一部分一般会在矩阵分析中看到。

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