中科大博士生资格考试方案

对  象:
所有希望能继续在中国科大数学系读博士的科大数学系在读研究生。

考试课程:
1.分析学:包含实分析、复分析、泛函分析;
2.代数学:包含群环域、模论、部分交换代数等;
3.几何拓扑:包含微分流形、代数拓扑;
4.数值计算。
注:四门课程中选择两门(可全考)。

考试时间:
在每个学期开学的第三周,第四周周末举行博士生资格考试,每门课程考试时间为4小时。

规  划:
1.两年内有四次机会,通过者取得读博士资格;不通过者不能读博,但可继续读硕士;
2.三年内必须通过资格考试且完成开题报告(口试);
3.通过考试者可获得相应考试课程的学分。如需继续读博者,则要求修完必要的课程,达到学分要求,且各科平均成绩不得低于75分。

博士资格考试—分析学

主要参考书籍:
[1].G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techeniques and Their Applications, 2nd ed., John Wiley & Sons, Inc., 1999;
[2].E. Lieb and M. Loss, 分析学(第二版),高等教育出版社,2006;
[3].W. Rudin, 实分析与复分析,机械工业出版社,2004;
[4].L. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill Companies, Inc., 1979。

考试要点:
分析部分”主要考察研究生的“大分析”基础。问题涉及实分析、复分析和泛函分析的基本概念和方法。具体地:
实分析:欧氏空间上的Lebesgue积分理论(含绝对连续函数和有界变差函数),抽象测度论和积分论(含Radon测度和Riesz 表示定理)。
复分析:单变量解析函数论的标准内容(含调和函数)。
泛函分析:赋范线性空间,Hilbert空间,线性泛函。重点是Banach 空间三大定理(Hahn-Banach定理,开映射定理和闭图像定理,一致有界定理)。

***** 分析学试题样卷 *****

博士资格考试—代数学

主要参考书籍:
[1].冯克勤, 李尚志, 查建国, 章璞编著, 近世代数引论, 中国科学技术大学出版社;
[2].Serge Lang, Algebra, revised 3rd edition, GTM 211, Springer。

考试要点:
1.群论: [1]中第一章所有内容, 或者参考[2], 第I章, 具体内容包括: 半群和群的定义、子群和陪集分解(拉格朗日定理)、循环群、正规子群和商群、群同态基本定理、置换群、单群、群在集合上的作用、Sylow定理、有限生成 阿贝尔群结构定理、小阶群的结构;
2.环和域: [1]中第二章, 或者参考[2], 第II, IV和V章. 具体内容包括: 环的定义, 例子和性质, 矩阵环;理想, 商环, 同态(同构)基本定理;素理想和极大理想,中国剩余定理;UFD, PID和ED;多项式环, 欧式算法, 高斯引理和Eisenstein判别法;域的扩张, 代数扩张与超越扩张;有限域理论;
3.伽罗瓦理论: [1]中第三章, 或者参考[2], 第VI章. 具体内容包括: 分裂域;可分扩张与正规扩张;伽罗瓦理论基本定理;
4.模论: [2]第III, XVI章. 具体内容包括: 模的定义, 子模和商模, 模同态, 直和和直积, 自由模([2] III.1-4);有限生成模, 主理想整环上的有限生成模的结构定理([2] III.7);正合列和蛇形引理([2] III.9);张量积模([2] XVI.1-2)。

***** 代数学试题样卷 *****

博士资格考试—微分流形与代数拓扑

微分流形:

主要参考书籍:
1.陈维桓,《微分流形初步》的前七章,第二版,高等教育出版社,2001;
2.陈省身,陈维桓,《微分几何讲义》的前六章,第二版,北京大学出版社,2001。

考试要点:
1.微分流形的定义,光滑映射,切向量,切空间;
2.张量,外微分算子;
3.单位分解定理,流形上的积分,Stokes定理;
4.单参数变换群,Frobenius定理;
5.李群,李代数,结构方程;
6.向量丛及向量丛上的联络;
7.黎曼流形简介,曲面的曲率。

代数拓扑:

主要参考书籍:
[1].Armstrong, 基础拓扑学,北京大学出版社;
[2].Bott and Tu, Differential forms in algebraic topology, GTM 82。

考试要点:
1.连续映射、紧致性、连通性;
2.单纯形、复形;
3.基本群,Van Kampen 定理,曲面分类定理;
4.复迭空间、万有复迭空间;
5.单纯同调、简单同调群的计算;(以上部分参看[1]中相关章节)
6.de Rham 复形和上同调,Poincare对偶。
([2],第一章、一到五节)

***** 微分流形和拓扑学试题样卷 *****

博士资格考试—数值计算

主要参考书籍:
1.Numerical Analysis, D. Kincaid, W. Cheney, Wadsworth Group, 2002.第1到9章;
2.Time Dependent Problem and Difference Methods, B. Gustafsson, H. Kreiss and J. Oliger, John Wiley & Sons, 1995。第1到7章;
3.有限元方法的数学基础,王烈衡、许学军,科学出版社,2004。第1到6章;
4.Spline Functions: Basis Theory, L.L. Schumaker, Cambridge University Press, 2007. 第4, 5, 6, 7章;
5.Numerical Partial Differential Equations (finite difference methods), J.W. Thomas, 1998, Springer。

考试要点:
1.多项式插值和逼近理论,数值微分和积分,常微分方程(组)的数值解;
2.非线性方程和线性方程组的数值求解理论,矩阵特征值及奇异值分解,最小二乘问题;
3.单变量样条函数的性质、计算与逼近理论;
4.偏微分方程差分方法的基本理论与应用;
5.有限元方法:椭圆问题的变分形式,有限元空间的构造,插值误差理论及有限元的误差估计。

***** 数值计算试题样卷 *****

博士资格考试—应用数学

组合数学:

主要参考书籍:
1.潘永亮, 徐俊明,组合数学. 科学出版社,北京,2006年5月;

考试要点:
几类基本计数问题,生成函数,递推关系,容斥原理和反演公式,Pólya计数定理,(0,1)矩阵,集系的极值问题,Ramsey理论,平衡不完全区组设计和对称区组设计。

图论:

主要参考书籍:
1.徐俊明,《图论及其应用》(第二版). 合肥: 中国科学技术大学出版社, 2004.8;

考试要点:
图的基本概念、直径、邻接矩阵和关联矩阵、Euler 回、Hamilton圈、树、图空间、平面图、连通度、匹配、独立集、染色理论。

运筹学:

主要参考书籍:
1.Hamdy. A. Taha, Operations Research: An Introduction (8th Edition), Prentice Hall, 2006;
2. 袁亚湘,孙文瑜,最优化理论与方法,科学出版社,1999。

考试要点:
线性规划(基本理论、单纯形方法);网络最优化(运输问题、最短路径问题、最大流问题的模型及算法);动态规划建模;非线性规划(最优性条件、无约束问题的常用迭代算法、二次规划求解方法、带约束问题的求解方法)。

***** 应用数学试题样卷 *****

 

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