2009中科大数学分析

  1. 判断
    1. \[\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(1+2i)^n}{3^n-2^n}\]的收敛性.
    2. $f$ 一致收敛的充要条件是 $f$ 把 Cauchy 列映成 Cauchy 列.

  2. 填空
    1. $f(x)=1-x$ 在 $x=-1$ 处展开后级数的收敛点集是________;
    2. $\sin(x^2)=x$ 有________个根;

    3. \[
      \sum_{k=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{4k-2}-\frac{1}{4k}\right)
      \]
      的和________.
  3. $f:[0,1]\to\R$ 单调递增且 $f([0,1])$ 是闭集, 证明 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续.
  4. $f$ 在 $[0,1]$ 上连续, 且
    \[
    \int_0^1 f(x)x^n\rd x=0,\quad n=0,1,2,\ldots,
    \]
    证明 $f\equiv0$.
  5. 是否存在原函数 $F$, 使得 $\rd F$ 满足
    \[
    \rd F=\frac{x\rd y-y\rd x}{\sqrt{x^2+y^2}}.
    \]
  6. 设 $f:N\to N$ 且 $f^{-1}(N)$ 是有限集. 若 $\lim\limits_{n\to+\infty}x_n$ 存在, 则 $\lim\limits_{n\to+\infty}x_{f(n)}$ 也存在.
  7. 令 $S=\set{(x,y,z)\in\R^3|xy^2z^3=1}$
    1. 证明 $S$ 在 $\R^3$ 上确定一张隐式曲面, 并求出一个在点 $(1,1,1)$ 附近的参数方程;
    2. $S$ 是否连通? 是否紧致?
    3. 对点 $q\in S$, 以 $|q|$ 表示其到原点的距离. 试求所有满足
      \[
      |p|=\inf_{q\in S}|q|
      \]
      的 $p$ 所成之集.
  8. 证明恒等式
    \[
    \pi\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{2\pi|n|}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{n^2+1}.
    \]
  9. 令 $\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\rd x$, $S=\set{(x,y,z)\in\R^3|x^2+y^2+z^2=1}$. 试用 $\Gamma(s)$ 表示第一型积分
    \[
    \int_S (x^2+y^2)^a\rd\sigma,
    \]
    其中 $a>-1$.

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