西大2007泛函分析(研究生)试题

  1. 叙述定义: 凸集, 均衡集, 有界集, 吸收集, 谱.
  2. 设 $\beta$ 为拓扑向量空间 $X$ 的局部基, 则 $\beta$ 中的每一元都包含某一个元的闭包.
  3. 设 $X$ 为无穷维拓扑向量空间, 它是可数多个有限维子空间的并, 证明: $X$ 在自身是第一纲集.
  4. 设 $X$ 是拓扑向量空间, $f$ 为 $X$ 上的非常值的线性泛函, 则 $f$ 必为开映射.
  5. 设 $X$ 为局部凸空间, $K$ 为 $X$ 的凸子集, 试证: $\bar K^w=\bar K$.
  6. 设 $X$ 为自反的 Banach 空间, 证明对任一 $f\in X^\ast$, $|f(x)|$ 在 $X$ 的单位球面上可取得最大值.
  7. 如果 $X$ 是紧致的拓扑向量空间, $\set{f_n}$ 是 $X$ 上可分点的连续实值函数列, 则 $X$ 是可度量化的.
  8. 设 $X$ 是 Banach 空间, 如果 $T\in\beta(X)$, $\lambda\neq0$, 且 $T$ 是紧算子, 则 $\rm{dim} N(T-\lambda T)$ .
  9. 设 $X$ 是 Banach 空间, 如果 $T\in\beta(X)$, 证明 $T$ 为有界线性算子的充要条件是对任意的 $x_n$ 弱收敛到 $x$, 都有 $Tx_n$ 弱收敛于 $Tx$.
  10. 设 $X$ 是 Banach 空间, $B$ 为 $X$ 中的闭单位球, 试证: $X$ 自反当且仅当 $B$ 是弱紧的.

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