西大2009抽象代数(研究生)试题

  1. 证明有限循环群的自同构群是交换群.
  2. 证明36阶群有非平凡正规子群.
  3. 证明 $J_p$ 是域当且仅当 $p$ 是素数.
  4. 若一个 $\R$-模 $M$ 的子模只有 $\set{0}$ 和 $M$, 则称 $M$ 为不可约模. 证明不可约 $\R$-模 $M$ 要么是循环模, 要么对任意的 $m\in M$, $r\in\R$, 都有 $rm=0$.
  5. 求有理数域上的多项式 $x^4-2$ 的伽罗华群.
  6. 证明有理数域上方程 $x^5-x-\frac{1}{3}=0$ 不可解(没有根式解).
  7. 试构造一个只含有四个元素的域.

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