李代数的伴随表示

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\renewcommand{\emph}[1]{\textsf{#1}}
\newcommand{\Ad}{\mathrm{Ad}}
\newcommand{\ad}{\mathrm{ad}}
\newcommand{\GL}{\mathrm{GL}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}
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Abstract.
在本文中, 我将对~Petersen~的黎曼几何中p.378的引理69, 引理70给一点注记. 引理69 是说李代数的伴随表示可以用利用李括号积表出. 而引理70, 作为这个结果的推论, 给出了一般线性群这个李群的李括号积的具体表达式.


假设$G$是一个李群, 对$G$中一固定元$h$, 定义$G$的一个由$h$决定的内自同构$\alpha_h$ 如下
\begin{align*}
\alpha_h\mathpunct{:}G&\to G\\
x&\mapsto hxh^{-1}.
\end{align*}
容易看出, $\alpha_h(x)=R_{h^{-1}}L_h(x)$, 因此$\alpha_h=R_{h^{-1}}L_h$.

记$\alpha_h$在单位元$e\in G$处的切映射为$\Ad(h)$. 即$\Ad(h)\mathpunct{:}T_eG\to T_eG$. 且$\Ad(h)=D\alpha_h|_e=DR_{h^{-1}}|_eDL_h|_e$.

由此, 我们又定义了一个映射$\Ad$,
\begin{align*}
\Ad\mathpunct{:}G&\to\GL(n,T_eG)\\
h&\mapsto\Ad(h),
\end{align*}
容易验证, 它是李群$G$与李群$\GL(n,T_eG)$之间的一个同态, 称为李群$G$的伴随表示.

再次, 由$\Ad$的切映射, 可以诱导李群$G$与李群$\GL(n,T_eG)$的李代数间的同态. 即, 定义$\ad=D\Ad|_e\mathpunct{:}T_eG\to T_I\GL(n,T_eG)$.

有了上面这些定义, 引理69是说:

Lemma1.(Lemma 69, p378)
\[
\ad(u)(v)=[u,v]=[U,V]|_e,
\]
其中, $u,v\in T_eG$, 而$U,V$是分别是由它们生成的左不变向量场.
Proof.取$U$的一个流$F^t$, 即

\[\begin{cases}
\dot F^t(g)|_{t=0}=U_g\\
F^t(g)|_{t=0}=g.
\end{cases}\]
容易看出,
\begin{align*}
U_g&=L_gU_e=L_g\dot F^t(e)|_{t=0}\\
g&=L_ge=L_gF^t(e)|_{t=0},
\end{align*}

因此, $L_gF^t(e)$和$F^t(g)$有相同的初值. 从而 $F^t(g)=L_gF^t(e)$, $F^t=R_{F^t(e)}$.
现在,
\begin{align*}
\ad(u)v&=[D\Ad|_e(u)](v)
=\left[\left.\frac{\rd }{\rd t}\right|_{t=0}\Ad(F^t(e))\right](v)\\
&=\left.\frac{\rd }{\rd t}\right|_{t=0}\left[\Ad(F^t(e))(v)\right]\\
&=\left.\frac{\rd}{\rd t}\right|_{t=0}\left[DR_{F^{-t}(e)}DL_{F^t(e)}(v)\right]\\
&=\left.\frac{\rd}{\rd t}\right|_{t=0}DR_{F^-t(e)}(V|_{F^t(e)})\\
&=\left.\frac{\rd}{\rd t}\right|_{t=0}DF^{-t}(V_{F^t(e)})\\
&=\left[L_UV\right]|_e,
\end{align*}
最后一步是因为, 按照Petersen书上的定义,

\[
F^{-t}(V|_{F^t(e)})=v+t\left[L_UV\right]|_e+o(t).
\]

现在, 我们将用上面引理来计算一般线性群的李代数.

首先, 我们知道, 对一个线性空间$V$, 其上的全体可逆线性变换所构成的群$\GL(n,V)$是一个李群. 而且它是$R^{n^2}$的一个开子流形. 于是其在单位元处的切空间$T_I\GL(n,V)$可以和其自身等同. 现在, 引理70是说

Lemma2.(Lemma 70, p378)
假设$x,y\in T_I\GL(n,V)$ 则:
\[
[x,y]=xy-yx,
\]

这里, 右边的$x,y$应看成线性变换.

Proof.设$x,y$生成的左不变向量场分别为$X,Y$. 注意$\GL(n,V)$的内自同构$\alpha_h\mathpunct{:}x\mapsto hxh^{-1}$ 是一个线性映射, 从而其切映射, 即$\Ad(h)$, 满足$\Ad(h)(x)=\alpha_h(x)=hxh^{-1}$.

其次, 由于$\GL(n,V)$是线性空间中的开集, 从而$X$的局部流为$F^t(g)=g(I+tx+o(t))$, 这里$x=X|_I$, $g\in\GL(n,V)$. 利用上面引理的结果

\begin{align*}
[x,y]&=(L_XY)|_I=\ad(x)(y)=D\Ad(x)|_I(y)\\
&=\left[\left.\frac{\rd}{\rd t}\right|_{t=0}\Ad(F^t(I))\right](y)\\
&=\left.\frac{\rd}{\rd t}\right|_{t=0}\left[\Ad(F^t(I))(y)\right]\\
&=\left.\frac{\rd}{\rd t}\right|_{t=0}\left[F^t(I)yF^{-t}(I)\right]\\
&=\left.\frac{\rd}{\rd t}\right|_{t=0}\left[
(I+tx+o(t))y(I-tx+o(t))
\right]\\
&=\left.\frac{\rd}{\rd t}\right|_{t=0}\left[
y+txy-tyx+o(t)
\right]\\
&=xy-yx.
\end{align*}

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