关于对偶空间内积的一个注记

在曲率流的学习中, 我们时常会碰到对一个张量定义其模长. 这当然是自然的一件事情, 因为张量空间本身也是一个内积空间. 从而我们只需要适当的处理张量运算与内积运算的关系即可. 例如关于$(p,0)$-型张量空间, 一种常见的方式是:
假设$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$是一个(实)内积空间, $\otimes_p V=V\otimes V\otimes\cdots\otimes V$, 这里有$p$个$V$. 那么我们可以自然地定义$\otimes_p V$上的内积如下
\[
\langle v_1\otimes v_2\otimes\cdots\otimes v_p, w_1\otimes w_2\otimes\cdots\otimes w_p\rangle
=\sum_{i=1}^p \langle v_i,w_i\rangle.
\]
容易验证, 如上定义的确实是$\otimes_pV$上一内积.
一个自然的想法是如何将这个定义推广到一般的$(p,q)$-型张量空间$\otimes_p^q V=V\otimes\cdots\otimes V\otimes V^\ast\otimes\cdots\otimes V^\ast$, 这里有$p$个$V$, $q$个$V^\ast$, 其中$V^\ast$表示$V$的对偶空间.
不难看出, 定义$(p,q)$-型张量空间的内积, 关键在于如何通过$V$的内积自然地定义其对偶空间的内积. 下面我们着手处理这件事:
一个观察是$V$上的内积$\langle\cdot,\cdot\rangle$其实是一个$V\times V\to\R$的双线性映射, 从而它可以自然地诱导$V\to V^\ast$的一个映射$A$如下:
\[
A(v)w=\langle v,w\rangle,
\]
利用内积的双线性性, 容易验证$A$的确是$V\to V^\ast$的一个线性映射. 事实上, $A$还是一个双射. 为此, 由于$V$是有限维的, 我们知道, 只需证明$A$是单射即可(这时$A$的表示矩阵是列满秩的, 从而也使行满秩的, 即也是满射). 单射的证明是简单的: 如果$A(v_1)=A(v_2)$, 那么对任意的$v\in V$, 都有$A(v_1)v=A(v_2)v$, 这即是说$\langle v_1-v_2,v\rangle=0$, 从而$v_1=v_2$.
现在, 由于$A\mathpunct{:}V\to V^\ast$是一个双射, 我们自然的将$V$的内积诱导到$V^\ast$上.这里, 自然的意思就是要求$A$是一个等距. 于是, 我们定义$V^\ast$上的内积如下:
\[
\langle Av_1,A v_2\rangle=\langle v_1,v_2\rangle.
\]
由于$A$是满的线性映射, 容易验证上述定义是良好的.
最后, 我们希望找出$V^\ast$的对偶基下该内积的表示矩阵.
具体而言, 假设$\xi_1,\ldots,\xi_n$是$V$的一个基, 而$\xi’_1,\ldots,\xi’_n$为其对偶基, 即$\xi’_i(\xi_j)=\delta_{ij}$. 假设$V$的内积在基$\set{\xi_i}_{i=1}^n$下的表示矩阵是$(g_{ij})$, 这里$g_{ij}=\langle \xi_i,\xi_j\rangle$, 那么我们希望找到$\langle \xi’_i,\xi’_j\rangle$与$(g_{ij})$的关系, 我们将证明它们是互逆的.
事实上, 由于我们对$V^\ast$内积的定义是通过$A$作为桥梁来实现的, 从而我们需要找到基$\set{A\xi_i}_{i=1}^n$与$\set{\xi’_i}_{i=1}^n$之间的关系. 为此假设$\xi’_i=a_{ij}A(\xi_j)$, 那么
\[
\delta_{ik}=\xi’_i(\xi_k)=a_{ij}A(\xi_j)\xi_k=a_{ij}\langle\xi_j,\xi_k\rangle=a_{ij}g_{jk},
\]
因此, $a_{ij}=g^{ij}$, 这里$(g^{ij})$是$(g_{ij})$的逆矩阵.
最后,
\begin{align*}
\langle \xi’_i,\xi’_j\rangle&=\langle a_{ik}A(\xi_k),a_{jl}A(\xi_l)\rangle
= a_{ik}a_{jl}\langle A(\xi_k),A(\xi_l)\rangle\\
&=a_{ik}a_{jl}\langle \xi_k,\xi_l\rangle
=a_{ik}a_{jl}g_{kl}=g^{ij}.
\end{align*}
至此, 我们已经完成了证明.

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