共形平坦的黎曼曲面的共形函数所满足的方程

$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}}\newcommand{\Lp}{\Delta\,}$事实上, 假设$\rd s^2=g_{ij}\rd x^i\rd x^j$是$M^2=(\Omega,g)$上的Riemann度量. 要使$M^2$ 是共形平坦的, 那么
\[
\rd s^2=g^{ij}\rd x_i\rd x_j=e^{2\lambda u}\left((\rd x_1)^2+(\rd x_2)^2\right).
\]
下面, 我们用活动标架法来计算$M^2$的高斯曲率$K$.

\[
\rd\omega_i=e^{\lambda u}\rd x_i,\quad i=1,2,
\]
则, $\set{\omega_i}_{i=1,2}$是一个幺正余标架场, 且
\begin{align*}
\rd\omega_1&=-\lambda e^{\lambda u}u_2\rd x_1\wedge\rd x_2=-\lambda u_2\rd x_1\wedge\omega_2\\
\rd\omega_2&=\lambda e^{\lambda u}u_1\rd x_1\wedge\rd x_2=-\lambda u_1\rd x_2\wedge\omega_1,
\end{align*}
由幺正标架下的Cartan结构方程,
\[\begin{cases}
\rd\omega_i=-\omega_{ij}\wedge\omega_j\\
\rd\omega_{ij}=-\omega_{ik}\wedge\omega_{kj}+\Omega_{ij},
\end{cases}\]
其中, $\Omega_{ij}=\frac{1}{2}R_{ijkl}\omega_k\wedge\omega_l$, $R_{ijkl}=-R_{ijlk}$, 我们有
\[
\omega_{12}=\lambda\left(u_2\rd x_1-u_1\rd x_2\right)=-\omega_{21}.
\]
因$\omega_{12}=-\omega_{21}$, 于是由Cartan基本引理得到$\omega_{12}$是唯一的. 再次利用Cartan结构方程, 我们有
\[
\rd\omega_{12}=\frac{1}{2}R_{12kl}\omega_k\wedge\omega_l=-\lambda\Lp u\rd x_1\wedge\rd x_2=-\lambda\frac{\Lp u}{e^{2\lambda u}}\omega_1\wedge\omega_2,
\]
从而
\[
K=R_{1212}=-\lambda\frac{\Lp u}{e^{2\lambda u}},
\]
这即是说
\[
\Lp u+e^{2\lambda u}K/\lambda=0.
\]
最后, 令$\lambda=1/2$, 我们有
\[
\Lp u+2K e^{u}=0.
\]

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