[转载]世界一流数学强校的背后

纵观整个20世纪的数学史,苏俄数学无疑是一支令人瞩目的力量。百年来,苏俄涌现了上百位世界一流的数学家,其中如鲁金(Н. Н. Лузин),亚历山德罗夫(П. С. Александров),柯尔莫戈罗夫(А. Н. Колмогоров),盖尔范德(И. М. Гельфанд),沙法列维奇(И. Р. Шафаревич),阿洛尔德(В. И. Арнольд)等都是响当当的数学大师。而这些优秀数学家则大多毕业于莫斯科大学(Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова)。

莫斯科大学所涌现的优秀数学家其数量之多,质量之高,恐怕除了19世纪末20世纪初的哥廷根大学。在20世纪就再也没有那个大学敢与之相比了,即使是赫赫有名的普林斯顿大学也没有出过这么多的优秀数学家,莫斯科大学是当之无愧的世界第一数学强校。对于莫斯科大学,我们是既熟悉又陌生,说熟悉是因为,中国大学的数学系都多少受了莫斯科大学的影响。我们曾经长期学习莫斯科大学的数学教材,做莫斯科大学的数学习题集,直到现在许多数学专业的学生还在做各种莫斯科大学编写的习题集。

如在下我,就曾经做过

  • 吉米多维奇的《数学分析习题集》(Б. П. Демидович《Сборник задач и упражнений по математическому анализу》)
  • 巴赫瓦洛夫的《解析几何习题集》(С. В. Бахвалов《Сборник задач по аналитической геометрии》)
  • 普罗斯库列科夫的《线性代数习题集》(И. В. Проскурярков《Сборник задач по линейной алгебре》)
  • 法杰耶夫的《高等代数习题集》(Д. К. Фаддеев《Сборник задач по высшей алгебре》)
  • 菲力波夫的《常微分方程习题集》(А. Ф. Филиппов《Сборник задач по дифференциальныму уравнениям》)
  • 沃尔维科斯基的《复变函数习题集》(Л. И. Волковыский《Сборник задач по теории функций комплексного переменного》)
  • 符拉基米罗夫的《数学物理方程习题集》(В. С. Владимиров《Сборник задач по уравнениям математической физики》)
  • 费坚科的《微分几何习题集》(А. С. Феденко)《Сборник задач по дифференциальной геометрии》)
  • 克里洛夫的《泛函分析——理论?习题?解答》(А. А. Кириллова《Теоремы и задачи функционального анализ》)* 捷利亚科夫的《实变函数习题集》(С.А.Теляковский《Сборник задач по теории функций действительного переменного》)

说陌生的因为,莫斯科大学有很多方面和中国大学大相径庭。那么莫斯科大学成为世界数学第一强校奥秘何在?我很幸运家里有亲戚,曾于80年代公派到莫斯科大学数学力学部读副博士(кандидат)(相当于美国的博士),又有熟人正在莫斯科大学数学力学系读副博士。从中了解到莫斯科大学数学学科的具体情况,特地把这些都发在BBS上,让大家看看,世界一流的数学家是如何一个一个的从莫斯科大学走出的。

邓小平有句话说足球要从娃娃抓起,莫斯科大学则是数学要从娃娃抓起。每年暑假,俄罗斯各个大学的数学力学系和计算数学系(俄罗斯的大学没有我们这样的数学学院,如莫斯科大学,有18个系和2个学院,和数学有关的是数学力学系(Mеханико-математический факультет)和计算数学与自动控制系(Факультет вычислительной математики и кибернетики),数学力学系下设数学部(Отделение математики)和力学部(Отделение механики),其中的力学部和我国的力学系大不相同,倒接近于应用数学系,计算数学与控制论系(Факультет вычислительной математики и кибернетики)包括计算数学部和控制论部2个部,计算数学部和我国的信息与计算科学专业相当,控制论部接近于我国的自动化系。

但是数学学的很多,前二年数学力学系及计算数学与控制论系一起上课,第三年数学力学系和计算数学与控制论系一起学计算数学方面的课程,到大四大五才单独上专业课)都要举办数学夏令营(Летний математический лагерь),凡是喜欢数学的中小学生都可以报名参加,完全是自愿的。由各个大学的数学教授给学生讲课做数学方面的讲座和报告。莫斯科大学的数学夏令营是最受欢迎的,每年报名的人都是人满为患,大家都希望能一睹数学大师们的风采,听数学大师讲课,做报告,特别是苏联著名的数学家柯尔莫哥罗夫(А. Н. Колмогоров)和维洛格拉托夫(И. М. Виноградов),吉洪洛夫(А. Н. Тихонов)(苏联有了微型电子计算机后,吉洪洛夫(А. Н. Тихонов)经常在夏令营里教人玩计算机)几乎每年都参加夏令营的活动。

数学夏令营和我国的奥数班不同,他的目的不是让学生参加什么竞赛,拿什么奖,而是培养学生对数学的兴趣,发现有数学天赋的学生,使他们能通过和数学家的接触,让他们了解数学,并最终走上数学家的道路。

在柯尔莫哥罗夫(А. Н. Колмогоров)的提议下,从70年代开始,苏联的各个名牌大学大多举办了科学中学,从夏令营中发现的有科学方面天赋的学生都能报名进入科学中学,由大学教授直接授课,他们毕业后都能进入各个名牌大学。其中最著名的当属莫斯科大学的柯尔莫哥罗夫(А. Н. Колмогоров)科学中学(Школа Колмогорова- специализированный учебно-научный ценр МГУ имени М. В. Ломоносова)。这所学校从全国招收有数学、物理方面天赋的学生,完全免费。对家境贫寒的学生还发给补助,尽管莫斯科大学现在经济上困难重重,但这点直到现在都没变。事实上科学中学的学生成才率相当高,这点是有目共睹的。到80年代末,90年代初,已经有几个当年的柯尔莫哥罗夫科学中学的学生成了科学院院士。

中国的大学,近年来常爆出招生中走后门的丑闻。其实以前就有高干子弟,成绩不好,居然能进名牌大学的事情。象50-60年代的北京大学、科技大学、清华大学都有这样的学生。南京大学当年被院系调整搞得乱七八糟,从当家老大变成二流重点大学。现在,大概没那个中央领导的子弟看的上,估计这样的学生是没有的。反观莫大,那可是非硬功夫进不去的,就算你是苏共总书记的儿子也一样。

莫大敢如此硬气,其实是其前校长彼得罗夫斯基(И. Г. Петровский)(我们对这位大数学家不会陌生吧!)利用担任最高苏维埃主席团成员(член Президиума Верховного Совета СССР)以及和苏共的各个高级官员的良好关系争来的尚方宝剑有关。

苏联有明确规定,包括莫大在内的几个名牌大学招生只认水平不认人(其它大学,高级官员的子女同等条件优先),必须是择优录取。莫大的生源好,和苏联的整体基础教育水平高也有关。苏联有一点值得中国学习,苏联的中小学的教学大纲和教材都是请一些有水平的科学家编写的,像数学就是柯尔莫哥罗夫(А. Н. Колмогоров)、吉洪洛夫(А. Н. Тихонов)和庞特里亚金(Л. С. Понтрягин)写的,而且苏联已经把微积分、线性代数、欧氏空间解析几何放到中学教了。大学的数学分析、代数、几何就可以在更高的观点上看问题了(其实和美国的高等微积分、初等微积分的方法相似)。

有一流的生源,不一定能培养出一流的数学家,还必须要有严谨的学风。莫大的规定相当的严格,必修课,一门不及格(不过政治和体育除外,政治是因为学校在这方面睁一只眼闭一只眼,纯粹是给上面看的)留级; 两门不及格,开除,而且考试纪律很严,作弊简直是比登天还难!莫大的考试方法非常特殊,完全用口试的方式。主课如数学分析或者现代几何学、物理学、理论力学之类,一个学期要考好及次,像数学分析,要考7-8次。考试一般的方法如下:考场里有2-3个考官考一个学生,第一个学生考试以前,第二个学生先抽签(签上就是考题),考试时间一般是30-45分钟,第一个考试的时候,第二个在旁边准备,其他人在门外等候,考生要当场分析问题给考官听后,再做解答。据称难度远大于笔试,感觉像论文答辩。

不过莫大有一点是挺自由的,就是转专业,这一般都能成功,像柯尔莫戈罗夫(А. Н. Колмогоров)就是从历史系转到数学力学系,这是尽人皆知的。中国的数学专业往往是老师满堂灌,学生下面听,最糟糕的是有的老师基本是照本宣科,整一个读书机器。莫大的老师上课,基本不按教学大纲讲课(其实教学大纲也说教师在满足大纲的基本要求的情况下,应当按自己的理解讲课),也没有什么固定的教材,教师往往同时指定好几本书为教材,其实就是没有教材,只有参考书!而且莫大的课程都有相应的讨论课,每门课的讨论课和讲课的比例至少是1:1,象外语课就完全是讨论课了!讨论课一般是一个助教带上一组学生,组织讨论班,像一些基础课的讨论班比如大一,大二的数学分析、解析几何、线性代数与几何(其实讲的是微分几何和射影几何)、代数学、微分方程、复分析、大三的微分几何与拓扑、大四的现代几何学(整体微分几何)都是以讨论习题和讲课内容为主。为了让学生多做题,做好题,所以教师要准备有足够的高质量的习题资料,像前面说的各种各样的习题集,就是把其中的一部分题目拿出来出版发行(事实上在打基础的阶段不多练习是不行的)。总的来说,讨论课的数量大于讲授,如1987年大纲,大一第一学期,每周讲课是13节,讨论是24节(不算选修课)。而且莫大有个好传统就是基础课都是由名教授甚至院士来讲,柯尔莫戈罗夫(А. Н. Колмогоров),辛钦(А. Я. Хинчин)都曾经给大一学生上过《数学分析》这样的基础课,现在的莫大校长萨多夫尼奇(В. А. Садовничий),目前也在给大一学生讲《数学分析》(不过校长事情太多,不太可能一个人把课给上下来)。

想培养一流数学家,就一定要重视科研训练,包括参加各种学术讨论班和写论文,莫大的学生如果在入学以前参加过数学夏令营,那他在入学以前已经有一定的科研训练,因为,在夏令营就要组织写小论文。

入学以后,学校也鼓励学生写论文,到大三下学期学生要参加至少一个学术讨论班,以决定大四大五是参加哪个教研组

莫大数学部有17个教研室,如

  • 数学分析教研室(Кафедра математического анализа)
  • 函数论与泛函分析教研室(Кафедра теории функций и функционального анализа)
  • 高等代数教研室(Кафедра высшей алгебры)
  • 高等几何与拓扑学教研室(Кафедра высшей геометрии и топологии)
  • 微分几何及其应用教研室(Кафедра дифференциальной геометрии и её приложений)
  • 一般拓扑与几何学教研室(Кафедра общей топологии и геометрии)
  • 离散数学教研室(Кафедра дискретной математики)
  • 微分方程教研室(Кафедра дифференциальных уравнений)
  • 计算数学教研室(Кафедра вычислительной математики)
  • 数理逻辑与算法论教研室(Кафедра математической логики и теории алгоритмов)
  • 概率论教研室(Кафедра теории вероятностей)
  • 数理统计与随机过程教研室(Кафедра математической статистики и случайных процессов)
  • 一般控制问题教研室(Кафедра общих проблем управления)
  • 数论教研室(Кафедра теории чисел)
  • 智能系统数学理论教研室(Кафедра математической теории интеллектуальных систем)
  • 动力系统理论教研室(Кафедра теории динамических систем)
  • 数学与力学史教研室(Кабинет истории математики и механики)
  • 初等数学教学法教研室(Кабинет методики преподавания элементарной математики)

每个教研室下设教研组(教研组既是科研单位又是教学单位)的活动(莫大数学系,到了大四大五,学生每学期要参加一个学术讨论班(семинар)目的是写论文,莫大要求本科毕业生至少要有3篇论文,其中2篇是学年论文,一篇作为毕业论文,毕业论文要提前半年发表在专门发毕业论文的杂志上,半年内无人提出异议方可进行论文答辩,而且参加答辩的人是从全国随机抽取的。答辩时还要考察一下学生的专业知识,这种答辩又称为国家考试。

对于本科生,需要让他们对数学和相邻学科有个全面的了解,莫大在这点做的很不错,数学系的学生不仅要学习现代几何学,高等代数(内容大概包括交换代数和李群李代数)等现代数学,也要学习理论力学,连续介质力学,物理学中的数学方法(大概相当于我国物理专业的电动力学,热力学与统计物理,量子力学)等课程。而且还有一些各种各样的选修课,供学生选择。必修课中的专业课里不仅有纯数学课程也有变分法与最优控制这样的应用数学课程,所以莫大的学生在应用数学方面尤其出色。

要成为一个合格的数学家,光短短5年的本科是远远不够,还要经过3-4年的副博士阶段的学习和无固定期限的做博士研究,应该说莫大的研究生院在数学方面绝对是天下第一的研究生院,莫大研究生院在数学方面有门类齐全的各种讨论班,讨论班的组织者都是世界闻名的数学家,参加讨论班的不仅有莫大的学者,还有来自全苏各个科研机构的学者。经过5年的必修课和专门化课,选修课的学习,凡是到莫大研究生院来的学生都有很扎实的专业知识,所以莫大的研究生是不上课的,一来就是上讨论班,进行科学研究,同样研究生想毕业也要拿出毕业论文和学年论文,毕业论文要拿到杂志上发表半年以后,有15名来自不同单位的博士签名,才能参加答辩。答辩的规矩比本科生更严格,只有通过毕业答辩和学年论文的答辩才能拿到数学科学副博士学位。至于数学科学博士(доктор математических наук),则是给有一定成就的科学家的学位,要拿博士至少要有一本合格的专著才行。

如果谁拿到莫大的数学科学博士的学位,那么谁就可以到大多数世界一流大学混个教授(包括助教授)当!但是这个过程是十分难完成的,俄罗斯有种说法,说院士为什么比一般人长寿,是因为院士居然可以完成从本科到博士这样折磨人的过程,所以身体一定好的很!

说到莫斯科大学的数学,有一个人是不能不提的,那就是数学大师柯尔莫哥罗夫(А. Н. Колмогоров),应该说柯尔莫哥罗夫(А. Н. Колмогоров)不仅是数学家,而且是教育家,但是这并不是我在这里要专门介绍他的原因,我专门介绍他是基于以下几个原因:

  1. 如果说使莫斯科大学的数学跻身于世界一流是在鲁金(Н. Н. Лузин)和彼得罗夫斯基(И. Г. Петровский)的带领之下,那么使莫斯科大学真正成为世界第一数学强校则是在柯尔莫哥罗夫(А. Н. Колмогоров)担任数学力学部主任的时期。
  2. 柯尔莫哥罗夫(А. Н. Колмогоров)是莫斯科数学学派(Московский математический школа)中承前启后的一代中的领军人物,特别是如盖尔范德(И. М. Гельфанд),阿诺尔德(В. И. Арнольд)等著名数学家都是他的学生。
  3. 柯尔莫哥罗夫(А. Н. Колмогоров)虽然没当过莫大校长但是彼得罗夫斯基(И. Г. Петровский)去世后,他在莫大基本上就是太上校长,莫大的一些改革措施都和他多少有些关系。

对于数学家柯尔莫哥罗夫(А. Н. Колмогоров),大家一定很熟悉,但是对于教育家柯尔莫哥罗夫(А. Н. Колмогоров),大家就不大清楚了!下面是我从沃尔夫奖得主,日本著名数学家伊藤清写的一篇纪念柯尔莫哥罗夫(А. Н. Колмогоров)的文章中摘抄下来的。

柯尔莫哥罗夫(А. Н. Колмогоров)认为,数学需要特别的才能这种观念在多数情况下是被夸大了,学生觉的数学特别难,问题多半出在教师身上,当然的确学生对数学的适应性存在差异,这种适应性表现在:

  1. 算法能力,也就是对复杂式子作高明的变形,以解决标准方法解决不了的问题的能力。
  2. 几何直观的能力,对于抽象的东西能把它在头脑里像图画一样表达出来,并进行思考的能力。
  3. 一步一步进行逻辑推理的能力。

但是柯尔莫哥罗夫(А. Н. Колмогоров)也指出,仅有这些能力,而不对研究的题目有持久的兴趣,不做持久的努力,也是无用的。柯尔莫哥罗夫(А. Н. Колмогоров)认为,在大学里好的教师要做到以下几点

  1. 讲课高明,特别是能用其他科学领域的例子来吸引学生,增进理解,培养理论联系实际的能力。
  2. 以清楚的解释和广博的知识来吸引学生互动。
  3. 善于因材施教。

    柯尔莫哥罗夫(А. Н. Колмогоров)以为以上三条都是有价值的,特别是3., 这是一个好教师必须做到的,那么对于数学力学系或计算数学与控制论系的学生又应当怎样做呢?柯尔莫哥罗夫(А. Н. Колмогоров)以为除了通常的要求外,有两点要特别强调

  4. 要把泛函分析这样的重要学科(他说的重要学科恐怕还包括拓扑学和抽象代数)当成日常工具一样应用自如。
  5. 要重视实际问题。

柯尔莫哥罗夫(А. Н. Колмогоров)认为,学生刚开始搞研究时,首先必须让学生树立“我能够搞出东西”的自信心,所以教师在帮助学生选课题时,不能光考虑问题的重要性,关键是要看问题是否在学生的能力范围之内,而且需要学生做出最大的努力才能解决问题。

其实科研训练应当是越早越好,在学生做习题的时候就要注意进行科研训练了!这也是莫大数学成功的秘诀之一。莫斯科大学讨论课上的习题根本没有我们常见的套公式,套定理的题目。比如,我的那个亲戚,在莫大读书时担任数学分析课的助教(莫大学数学的学生毕业后大多数是到各个大学担任教师,所以莫大很重视学生的教学能力,一般,研究生都要作助教,本科生毕业前要进行大学数学的教学实习),据他说,主讲教授每次布置的讨论课题目简直稀奇古怪,比如说有一次,是叫他让学生利用隐函数定理证明拓扑学中的Morse引理,还有一次,叫他给出有界变差函数的定义,然后证明什么全变差的可加性等等,一直到雅可比分解!基本上把我们国家的实变函数课中的有关问题都干掉了!总之他们经常叫学生证明一些后续课程中的定理,据他们认为这样做基本等于叫学生做小论文,算是模拟科研,对以后做科研是有好处的。

回想在八十年代初期,数学系的学生人人争做数学分析吉米诺维奇习题集,做完的不在少数,而现在的数学系学生提起吉米诺维奇习题集多数只能咂舌。吉米诺维奇习题集有六大本,题型有四千多道.现在理工科大学生还做吉米诺维奇习题吗?

附1:俄罗斯大学数学教学掠影

张小萍 郭思旭 赵天夫

2006年6月,我们随高等教育出版社俄罗斯考察团去莫斯科和圣彼得堡访问。为了解决高等教育出版社出版的《俄罗斯数学教材选译》中一些教材的版权问题,我们拜访了7位莫斯科大学的教授和有关的几家出版社,从某些侧面看到了俄罗斯大学的数学教学状况。由于这次出访主要不是了解俄罗斯大学的数学教学全景,因此只能掠影式地来介绍所见所闻。    

一、教授重视教学、认真写书

俄罗斯有崇尚知识、俄罗斯的大学有重视教学的优良传统,这是早有耳闻的。这次,通过拜访教授和参观学校,有了许多感性的认识。我们拜访的7位科学家(其中3位院士),除了现任的莫斯科大学校长萨多夫尼齐院士因为太忙,只礼节性地接待我们外,其他几位都花了一定的时间与我们交谈。他们热爱教学、认真写书的精神给我们留下了很深刻的印象。

《微分几何与拓扑学简明教程》、《现代几何学》(三卷)作者之一的福明柯院士现在是莫斯科大学数学力学系微分几何教研室的教授。他39岁就当选为俄罗斯科学院院士,是莫大数学力学系的科学院院士中当选年龄最轻的一位。他向我们介绍了他自1967年开始撰写的31本教材与专著,其中大部分都被翻译成英文在西方出版。在不到40年的时间里写了31本高水平的书,其敬业精神和所付出的艰辛是可想而知的。

伊里因院士是苏联时期当选的科学院院士。77岁高龄的他,目前是莫斯科大学大物理系计算数学教研室的教授,在从事石油系统使用偏微分方程和控制理论研究的同时,还在第一线进行本科生的教学。这位被称为莫大教材之“王”的他,写过8本教材,其中使用面最大的一种高等数学教材,印数达几千万。谈起教学生涯,他口若悬河,激情洋溢,当他向我们讲到他的教学工作时,居然高声朗诵起普希金的一首爱情诗,以爱情来比喻和表达他对教学工作的深厚感情。面对这样一位德高望重的教授,我们的尊敬之情油然而生。 

写《理论力学》的马尔契夫教授是一个具有典型俄罗斯民族性格的学者,他豪爽、坚韧、充满激情,当他看到我们带去的他的书的中文版时,毫不掩饰地兴奋地反复吻着那本书。在他介绍他自己的这本书时,他告诉我们他花了10年工夫才写成,真可谓“十年磨一剑”!

《奇异摄动的渐近展开》的作者之一瓦西里耶娃教授是苏联著名数学家吉洪诺夫的大弟子,她和她的学生布图索夫是常微分方程奇异摄动理论的奠基性人物。他们就这个题目写了3本著作,有的书已经被介绍到世界各国。已年逾80的瓦西里耶娃教授不顾年迈,亲自在物理系计算数学教研室(由于历史的原因,莫大的计算数学教研室设在物理系)和布图索夫一起接待了我们,并带领我们参观了莫大物理系。在系图书馆显著的位置,有为庆祝瓦西里耶娃教授80寿辰时举办的她的工作成果展览。一些旧得发黄的老照片,记载着她和她的一批又一批的学生,还有瓦西里耶娃教授的各个时期的研究成果——教材、论文、专著,让我们感受到在莫斯科大学,知识很受尊重,教授很受尊敬,特别是那些对科学、教育做出特殊贡献的人,更受称颂!在物理楼走廊两侧的玻璃橱窗里,陈列的是历年获得诺贝尔奖的科学家的照片、当选为科学院院士的照片,以及革命成功以来历年获得列宁勋章和国家奖的学者的照片。这些照片记录了他们对科学和人类的贡献,也记录了人们对科学和科学家的崇尚,激励后人向他们学习。

二、落后的硬件和教学现代化    

耸立在列宁山上的莫斯科大学主楼外表雄伟、壮观,1953年落成以来,50多年的沧桑虽然没有在大楼外表留下明显的痕迹,但楼内脱落的墙皮、磨损的地板和年久失修的设备随处可见,灰暗的物理楼实验室里陈列的是在我看来早可以淘汰的设备,教师办公室拥挤、凌乱……再联想到我们下榻的莫斯科大学宾馆那起码落后了20年的住房设施,让人感觉到俄罗斯这个超级大国,由于上世纪90年代的解体而元气大伤。但接触了他们的教师,发现莫斯科大学这所世界著名的大学在教学现代化方面似乎并不落后。听说信息化革命在俄罗斯进展很快,人们使用因特网获取信息、进行交流都已是非常普及的事情。数学系的师生使用俄文版的LATEX排版软件写论文、写书的也很多。数学系的副主任丘巴里阔夫告诉我们,学校正在酝酿进行一个使用现代化技术教学的大工程。数学系的教授介绍说他们已经通过因特网与学生交流,在网上提前公布讲述的内容,并回答学生的问题等等。系里还组织进行多媒体教学,把有关的教学材料挂在网上,以便学生使用,还要求教师把有些教材的电子版放在网上,以解决一些贫困学生买书困难的问题(对此,有关的教师颇有微词,因为这样做影响了教材的销售量)。但是,对于数学力学系来说,听说多媒体教学的效果不很理想,人们对它没有什么兴趣。我们想,这可能是多媒体教学与数学学科需要培养抽象性思维和逻辑思维还不太匹配的缘故吧。    

三、一个培养数学尖子的机构

我们因出版卓里奇的《数学分析》的需要,访问了它的出版单位——“莫斯科不间断数学教学中心“(MUHMo)。访问前,我们不明白这个机构是做什么的,把它理解为进行数学继续教育的机构。到那里一看,才知道这是一个培养数学尖子的摇篮。MUHMO是1994年以阿诺尔德、诺维科夫、西奈、法捷耶夫、瓦西里也夫为首的俄罗斯著名数学家发起,由莫斯科中央行政区委员会、莫斯科教育局、俄罗斯科学院、莫斯科大学等单位共同创建的一个非赢利、非商业性机构。其目的是培养优秀的数学人才,中心提供从中小学、大学到研究生的不间断的数学教育,为优秀的孩子创造好的学习环境,既包括高水平的数学教育,也包括全面的文化教育,发展他们的智力,使他们成长为数学的优秀人才。中心的工作包括两方面功能:教育功能和出版功能。教育功能包括举办各种高中生的课外活动,如Kruzhoks(一种莫斯科式的讨论会),数学奥林匹克,各种数学竞赛;指导俄罗斯特殊数学高中的教师和Kruzhoks的组织者;进行大学与研究生水平的数学教学与研究。中心还具体实施大学和研究生教育,这是由私立机构——莫斯科独立大学承担的。该大学1991年由上述几位数学家创建,1996年第一批5年制毕业生只有7名,现在平均每年只有5个学生能获得文凭。从1993年起独立大学提供3年制研究生教育。学校通过严格考试招收新生,免费教育,学生前2年主要学习高等微积分、代数、几何、复分析和拓扑5方面课程,后3年的选修和必修课程不是固定的,随学期而改变。MUHMO的出版功能中,一半是出版适合中小学生使用的各种读物,一半是供大学和研究生教育使用的。出版学术性图书,全部由基金支持。

在国内,大家都在关注如何培养出高素质的数学人才,使得中国早日实现成为数学强国的目标。我们在俄罗斯看到了这么一个机构,觉得很开眼界。他们从娃娃抓起,像培养运动员那样培养数学尖子。当然这个机构的做法是否成功现在还难下结论,但这种尝试可能会比我们进行走样的“奥数”训练要有意义得多。

四、数学教材出版的变化    

高等教育出版社在上世纪50年代和60年代出的许多苏联教材,主要是由当时的HayKa(科学出版社)和фиэмаTгиз(数理文献出版社)出版的。被列为高等学校的教材都要经苏联教育部审订,在教材上注明是根据教育部规定的大纲编写,等等。苏联解体之后,出版社作为一个产业部门,进行了大改组,许多出版社都成为私有企业。比如著名的Hayka,现在被一家名为Pleiades的美国资本的出版公司所收购,现在在PleiadesPublishing,Inc.名下有10个子公司,分别出版自然科学、工程、人文、政治、农业、机器制造、交通运输和药物等领域的图书,原有的фиэмаTгиз现在也是该集团的一个子公司,名为фиэмаTгиз。当我们来到这家公司门前时,看到一面美国国旗,觉得很刺眼,也很伤感。后来才知道,这家公司的老板是一位俄裔美国人,他原先在美国的公司主要做科学期刊,在苏联解体后,科学院系统的出版物不知去向时,他出资与俄罗斯科学院合作重组了这家出版公司。现在它是世界上最大的出版俄文科技图书和期刊的国际性公司,每年出版新书1000多种,还出版100多种英文期刊在世界上发行。出版社基本上是私有化了,但令人欣慰的是苏联的一些好的教材都保留下来了。就数学教材而言,一部分由фиэмаTгиз继续出版,还有许多分散在许多小的公司。比如一家名为лань(鹿)的出版社就出版了不少莫斯科大学的经典数学教材。我们走访了这家出版社。它位于圣彼得堡城边的一个破旧的仓库的二层楼上,门口连个招牌都见不到,只有25个工作人员加上十分简陋的办公条件,居然出版了不少好的教材,可见首要的是一个有效的工作机制。遗憾的是我们这次出访没有对数学教材的出版做更深入的调研,但从我们所访问的出版社了解的情况看,俄罗斯对教材的出版是很重视的。教材的审订推荐机制仍然在被采用,比如2006年由数理文献出版社最新出版的(连续介质力学基础》就注明了由“教学联合体”的“数学和力学教学委员会”推荐使用;而另一本连续介质力学教材则注明由“俄罗斯联邦一般和专业教育部”(主管技术类院校)推荐给技术类大学的学生使用。给我们留下深刻印象的是,对于那些优秀的数学教材,他们能够下工夫不断地修订、完善,使之真正成为经典教材。比如在我们组织的《俄罗斯数学教材选译》中的菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》(三卷)、拉夫连季耶夫和沙巴特的(复变函数论方法》、庞特里亚金的《常微分方程》等,其第一版都是上世纪40和50年代的书,有些教材的作者也已经故去,但这些书仍然由作者的学生、后继人或相关的学者帮助完善、修订,使得这些书出版到了第6版、第8版之后,仍然被莫斯科大学等学校用作教材,有些在销售排行榜上仍然名列前茅。相比之下,我们的有些好教材,由于印数不大,出版社过多考虑经济效益而停止再版,不仅造成资源上浪费,也不利于形成属于我们中国自己的经典教材。

附2:莫斯科大学数学力学系 数学部专门化课程目录

数学分析教研室专门化课程
  • 谱理论中的解析方法
  • 非Archimedes赋值域上的级数的算术理论
  • 数论算法引论
  • 数论导引
  • 数学分析续论
  • 抛物线型方程定性理论选讲
  • 不变均值及其在分析中的应用
  • 气象学的数学问题
  • 广义类正交系
  • Sturm-Liouvlle算子与正则级数理论
  • 正交与类正交系
  • Hilbert空间中的线性算子谱理论
  • Riemann-zeta函数
  • 逼近论
  • 多复变函数
  • 紧算子的对称赋范理想论与算子的正规离散化
  • 分析中的整函数
  • 几乎处处收敛的Fourier级数
  • Riemann流形的拟共形映射嵌入
  • 数学物理与分析中的反问题解法
  • 拓扑线性空间与无穷维分析引论
  • 函数的双曲几何
函数论与泛函分析教研室专门化课程
  • 多重三角级数
  • 紧Abel群上的调和分析
  • 复空间的实子流形
  • 函数的边界性质与奇点
  • 函数、测度与容度的几何理论
  • 谱理论与数学物理方程
  • 遍历理论
高等代数教研室专门化课程
  • 代数学续论
  • 代数学的应用问题
  • 代数学、逻辑学与数论
  • 代数几何引论
  • 代数几何与不变量理论
  • 代数算法及其复杂性
  • 交换代数引论
  • Lie群
  • 反射群
  • 代数学续篇
  • 对称空间
  • 交换齐性空间
  • 群论
  • 不变量理论
  • 环论-1
  • 环论-2
  • 椭圆曲线与密码学
高等几何与拓扑教研室专门化课程
  • 几何学的应用问题
  • 代数拓扑学入门
  • 代数拓扑学与微分拓扑学
  • 数学物理可积方程的几何学
  • Hilbert模型及其应用
  • 光滑流形的同调论
  • 位势论中的同调与上同调
  • 低维拓扑学
  • 非对易几何
  • 向量丛与K-理论
  • 奇点理论中的拓扑不变量
  • 环形修正与Newton图式
  • 同调理论基础
  • 纤维空间及其应用
  • 纽结理论引论
微分几何及其应用教研室专门化课程
  • 量子力学中的几何方法
  • 量子力学中的几何结构
  • 从几何观点看代数拓扑
  • 3维拓扑学的算法与计算机方法
  • 分析力学及其在PC机上的可视化演示
  • 分子生物学中的变分问题
  • 四维流形的拓扑学引论
  • 生物信息学中的几何方法
  • 可积Hamilton系统的几何学与拓扑学
  • 同伦拓扑学
  • Lie群与Lie代数
  • Lie代数上的可积Hamilton系统
  • 计算几何与几何仿真
  • 极小曲面与Plateau问题
  • 高维极小曲面与调和映射
  • 正标量曲率流形
  • 映射的不动点与重合点
  • 一维变分问题的分枝解
  • 辛几何
  • 拓扑变分问题
  • Seifert流形拓扑学
  • 变分学初步与现代几何学
  • 辛拓扑与辛几何学基础
  • 3维拓扑学基础
一般拓扑与几何教研室教研室专门化课程
  • 描述集合论引论
  • 一般拓扑学引论
  • 一般拓扑学与拓扑代数引论
  • Q-流形理论引论
  • 拓扑群引论
  • 测度的拓扑理论引论
  • 映射和空间的相互分类
  • 三角形的高等几何学与单形的初等几何学
  • 纤维丛的几何学
  • Cech同调与常微分方程的边值问题
  • Cantor集合论
  • 拓扑空间的基数不变量
  • 组合几何学
  • 紧性与紧性型的性质
  • 广义度量空间与正规性型的性质
  • 一维动力学
  • 一般拓扑学基础
  • 相对拓扑性质
  • 层状一般拓扑
  • 拓扑空间的乘积与谱
  • 常微分方程的解空间
  • 拓扑空间上的一致结构
  • 可分拓扑空间
  • 一般拓扑空间的维数论
  • 拓扑函数空间
  • 无穷维拓扑学基础
  • 几何拓扑学基础
离散数学教研室专门化课程
  • 离散数学与数学控制论
  • 自然语言文本分析算法
  • 管理系统的综合
  • 管理系统的诊断
  • Boolean函数的复杂性选讲
  • 椭圆密码基础
  • 最终域的应用
  • 组合设计
  • 古典组合存在性理论
  • 社会学信息的过程与分析的数学方法引论
  • Boolean基的比较
  • 快速计算
  • 统计信息的分析与处理方法引论
  • 复杂性理论引论
  • 离散结构的组合性质
  • 社会学中的数学模型
  • 图论及其应用
  • 编码理论
  • 复杂性理论
微分方程教研室专门化课程
  • 微分方程的解析理论
  • 解微分方程的渐近方法
  • 渐近方法理论及其在微分方程中的应用
  • 全纯动力学引论
  • 微分方程的定性理论
  • 解析曲线与近似问题的迭片结构
  • 分叉理论
  • 稳定性理论
  • 控制系统与微分嵌入
  • 一阶偏微分方程
  • 椭圆性方程
  • 控制论与金融数学中的随机微分方程基础
计算数学教研室专门化课程
  • 计算机图形学的算法基础
  • 数据库
  • 渐近方法引论
  • 信息安全的综合方法
  • 公司信息系统
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  • 对称线性方程组的解法
  • 实时操作系统
  • 并行计算基础
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  • Sobolev空间
  • 拟线性方程的差分方法
  • 现代高性能计算机网络
  • 半结构化数据库管理系统理论基础
数理逻辑与算法理论教研室专门化课程
  • 公理集合论
  • 遗传算法
  • 模型论引论
  • 计算复杂性理论选讲
  • 古典模型论与直觉主义模型论
  • Kolmogorov复杂性
  • 计算机逻辑
  • 构造性逻辑
  • 公理集合论中选择公理的独立性
  • 计算复杂性
  • 计算复杂性理论
  • 形式理论
概率论教研室专门化课程
  • 精算数学-1
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  • 精算模型
  • 排队论引论
  • Gibbs随机场
  • 数理统计续论
  • 概率论续论
  • 随机过程论续论
  • 鞅与Markov链
  • 多元统计分析
  • 排队论的几个现代问题
  • 公司资产评估
  • 应用随机模型
  • 排队论中的随机过程
  • 随机过程与动力系统
  • 时间序列分析
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  • 随机过程统计学中的随机分析
  • 生存时间统计分析
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  • 金融数学-1
  • 金融数学-2
  • 金融数学-3
  • 极值随机过程
数理统计与随机过程教研室专门化课程
  • 随机微积分学引论
  • 组合学中的概率方法
  • 根据独立重复抽样的生灭分布
  • 概率论与数理统计续篇
  • 随机过程续论
  • 组合几何问题
  • 鞅论与随机积分
一般控制问题教研室专门化课程
  • 发展方程的吸引子
  • 凸分析理论及其应用
  • 极值理论续论
  • 数理生态学
  • 过程和系统中的数学模型
  • Hilbert-Kirchhoff方法
  • 数学物理中的广义函数
  • 变分学中的齐性空间与Riccati方程
  • 数理经济学问题中的最优控制
  • 赋范空间中的逼近
  • 最优控制的应用问题及其数值解
  • 最优控制一般问题中的极大值原理
  • Gauss和及其应用
  • 逼近论
  • 三角级数
  • 抛物方程的可控性
  • 数学物理方程及其计算方法
  • 极值理论中的2阶条件
  • 生灭与逼近问题中的极值问题
数论教研室专门化课程
  • 代数数论
  • 计算数论
  • 数论基础
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  • 凸多面体
  • 周期与拟周期结构的几何学
  • 空间的多面体剖分
  • 超几何函数
  • 超几何恒等式
  • 连分数
  • 数值积分的数论方法
  • 三角和引论:半年课程
  • 三角和引论:一年课程
  • 代数数、Diphantos逼近与Diphantos方程
  • 代数数的逼近
  • 制胜集合
  • Diphantos逼近的几何理论
  • 分布不规则性动力系统
  • 数论中的Cantor集
  • 三角和-I:三角和与特征和
  • 三角和-II:三角和方法的应用
  • 数论中的初等方法
  • 代数无关性-I
  • 代数无关性-II
  • Diphantos逼近的能行结构
  • 有限差分方程及其在数论中的应用
  • 近似分析中的数论方法理论
  • 三角和及其应用
  • 代数数与Diphantos方程
  • Gelfond方法
  • 超越数论方法
  • 代数数的逼近:能行性定理
  • 代数数的逼近:非能行性定理
  • 数论与信息保护
  • 密码学与椭圆曲线
  • 数论与密码协议
  • Diphantos逼近与超越数
  • 数论选讲
人工智能系统的数学理论教研室专门化课程
  • 代数密码学
  • 代数编码理论引论
  • 离散数学与数学控制论引论
  • 模糊集论引论
  • 组合学与组合算法
  • 生物学中的数学仿真
  • 自动机理论
  • 数据库理论与信息检索理论
  • 图论与数据库信息系统综合
  • 人工智能系统理论
动力系统理论教研室专门化课程
  • 动力系统
  • 奇点理论引论
  • 全纯向量丛与微分方程
  • 作用于树上的群的性质与动力学
数学与力学史教研室专门化课程
  • 古今代数学
  • 数学史选讲
  • 力学史选讲
  • 19世纪后30年与20世纪前30年的莫斯科数学
  • Zhukovsky及其在莫斯科大学的科学学派
  • Kolmogorov的非Godel的新数学基础
  • 古典力学发展史
初等数学教学法教研室专门化课程
  • 中小学数学课程的科学基础
  • 初等数学的教学内容与教学法

2004/05学年部分教研室的专门化Seminar

数学分析教研室

  1. 算子的谱理论
  2. 数学物理与自然科学中的反问题
  3. 函数论
  4. 数的解析理论及其应用
  5. 数论的基本方法
  6. 古典与微分几何
  7. 正交系的分解
  8. 谱理论的渐进方法
  9. 极限集
  10. 无穷维分析与数学物理
  11. 逼近论
  12. 数论引论
  13. 流形上的微分几何结构
  14. 数学分析
  15. 分析与共形几何
  16. 大范围分析
高等代数教研室
  1. 代数学研究
  2. 代数学选题
  3. 代数学的现代问题
  4. 群论
  5. 环与模
  6. 计算代数
  7. Lie群与不变量理论
  8. 代数群与不变量理论
  9. 代数几何与不变量理论
  10. 交换代数
  11. 代数簇的几何学
  12. 数域上的曲面与曲线
  13. 代数K-理论
  14. 非交换矩阵环
高等几何与拓扑教研室
  1. 几何、拓扑与数学物理
  2. 代数拓扑的应用
  3. 非对易几何与拓扑
  4. 拓扑与分析
  5. 代数拓扑
  6. 低维拓扑
  7. 奇点理论的拓扑方法
微分几何及其应用教研室
  1. 几何学综合讨论
  2. 量子场论中的拓扑方法
  3. 现代几何方法
  4. 网络理论
  5. Lie群与可积系统
  6. 高分子动力学
  7. 拓扑图论中的代数不变量
  8. A.N.Kolmogorov特别讨论
  9. 纽结理论
  10. Ricci流
离散数学教研室
  1. 离散数学综合讨论
  2. 管理系统的综合
  3. 离散数学与密码学的数学问题
  4. 管理系统的诊断
  5. Boolean函数
  6. 社会学中的离散数学
  7. 密码学的数学问题
  8. 多值逻辑函数
概率论教研室
  1. 概率论综合讨论
  2. 随机分析
  3. 排队论引论
  4. 排队论的现代问题
  5. 应用统计模型
  6. 随机过程的极限理论
  7. 可靠性的数学理论
  8. 概率论与统计物理学
  9. 时间序列统计
  10. 金融数据的统计分析
  11. 非参数统计与时间序列
  12. 精算模型
  13. 统计计算选题
  14. 概率论与测度论中的一些问题
数论教研室
  1. 数论综合讨论
  2. diophantos逼近与超越数
  3. 数论中的理论与问题
  4. 三角和及其应用
  5. 算术代数几何
  6. 离散几何与数的几何学
  7. 凸多项式
  8. 信息安全与数论
人工智能系统的数学理论教研室
  1. 自动机理论
  2. 人工智能系统
  3. 离散分析与人工智能系统
  4. 离散分析
  5. 分布式人工智能系统
  6. 控制论基础
  7. 数学控制论与人工智能综合讨论
  8. 计算机与程序设计的数学理论
  9. 离散分析与几何
  10. 经济学的数学模型
  11. 复杂系统与过程的仿真
  12. 控制论与信息论
  13. 神经网络
  14. 自动解题的程序设计
  15. 人工智能系统的程序设计
动力系统教研室
  1. 动力系统与遍历理论
  2. 动力系统的度量理论
  3. 符号动力系统
  4. 拓扑动力系统

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