两个实对称阵不能同时对角化的反例

在线性代数中, 一个熟知的事实是一个实对称阵和一个正定阵可以同时合同于对角型. 而最近有同学问我该结论能不能推广为两个实对称阵可以同时合同于对角型?

稍加分析可知, 这个问题举反例不是那么容易, 但是我在郭老师的线性代数[1]书上看到如下反例:
假设$A=\pmatrix{1&0\\0&-1}$, $B=\pmatrix{0&1\\1&0}$. 明显他们都是实对称的.

现在, 如果存在可逆矩阵$P$, 使得$PAP^T=\pmatrix{\lambda_1&0\\0&\lambda_2}$, $PBP^T=\pmatrix{\mu_1&0\\0&\mu_2}$, 那么由于$B$的秩和$PBP^T$的秩一样, 我们知道$\mu_1,\mu_2$都不为零. 这样, 考察多项式:
\[
(\lambda_1-\mu_1 x)(\lambda_2-\mu_2 x)=\det\left(
\pmatrix{\lambda_1&0\\0&\lambda_2}-x\pmatrix{\mu_1&0\\0&\mu_2}
\right)
\]
它有两个实根. 但是, 注意到
\begin{align*}
\det\left(
\pmatrix{\lambda_1&0\\0&\lambda_2}-x\pmatrix{\mu_1&0\\0&\mu_2}\right)
&=\det\left(
P(A-xB)P^T
\right)\\
&=(\det P)^2\det\pmatrix{1&-x\\-x&-1}\\
&=-(\det P)^2(1+x^2),
\end{align*}
它没有实根. 这就得到了矛盾!

Reference

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, and 徐贵桐. 线性代数导引. 科学出版社, 2001.

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