弱极值原理

不知为啥, 看书上老觉得没写清楚. 我试举几个地方:

  1. 关于取极限, 在假设椭圆算子半正时要用扰动来转化为严格正的情形, 但是最后取极限为什么能够得到结论?
  2. 关于$c\geq0$的情形, 很多书上是考虑$\Omega^+=\set{x\in\Omega|u(x)<0}$这样的区域, 在$\Omega^+$上用$c\equiv0$的情况, 但是最后为什么会从$\Omega^+$以及$\partial\Omega^+$转到$\Omega$, $\partial\Omega$上结论成立?


我们先做一些基本假设:

  1. $\Omega\subset\R^n$是一个有界开区域(从而连通);
  2. $u\in C^2(\Omega)\cap C(\bar\Omega)$;
  3. $Lu:=-a^{ij}(x)u_{ij}+b^i(x)u_i+c(x)u$称为是椭圆算子, 如果对任意的$x\in\Omega$, 都有$a^{ij}\xi_i\xi_j\geq\theta\|\xi\|^2$, 这里$\theta>0$, 而$\xi=(\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_n)\in\R^n$.
  4. $a^{ij}=a^{ji}$, $b^i$, $c$都是$\Omega$上的连续函数.

Lemma 1. 假设在$\Omega$中$Lu>0$, 且$c\equiv0$, 则$u$在$\Omega$中不能取得极小值.

Proof . 事实上, 反设$x_0\in\Omega$处, $u$取得极小值. 则由于$u\in C^2(\Omega)$, 我们通过泰勒展开知道
$$
\nabla u(x_0)=0,\quad D^2u(x_0)\geq0.
$$
现在, 我们将用线性代数里面一个基本事实来说明矛盾: 假设$A=(-a^{ij})\leq0$, $B=D^2u(x_0)\geq0$, 则有$\tr(AB)\leq0$, 这样记得到$Lu(x_0)\leq0$, 与题设矛盾.

关于线性代数的这个事实, 只需注意到$B$是实对称的, 从而存在正交阵$O$, 使得
$$
O^{-1}BO
=\pmatrix{\lambda_1&0&\cdots&0\\
0&\lambda_2&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
0&0&\cdots&\lambda_n}:=\Lambda
$$
因此 $B=O\Lambda O^{-1}$,
$$
\tr(AB)=\tr(AO\Lambda O^{-1})=\tr(O^{-1}AO\Lambda)=\tr(O^TAO\Lambda).
$$
由于$A\leq0$, 从而按定义即知$O^TAO\leq0$, 特别其主对角线元素都小于等于$0$, 由此易见$\tr(AB)\leq0$(因为$B\geq0\Rightarrow\lambda_i\geq0$).


如果我们把$c\equiv0$的条件减弱为$c\geq0$, 则结论应变成:
Lemma 2. 假设在$\Omega$中$Lu>0$, 且$c\geq0$, 则$u$在$\Omega$中不能取得非正的极小值, 即, 其非正极小值在边界取得; 也即要么其极小值在边界取得, 要么(在内部取得时)其极小值大于零.

Proof . 事实上, 假设$L_0u=Lu-c(x)u>-c(x)u$, 从而反设能在$\Omega$中$x_0$处取得非正极小值, 则在$x_0$处我们仍有$L_0u(x_0)>0$, 这样由前面的证明知道$x_0$不能是$u$的极小值点, 矛盾.

下面, 我们通过扰动将结果改进到$Lu\geq0$的情形, 可以看到结论事实上要相应的减弱.
Theorem 3. 假设在$\Omega$中$Lu\geq0$, 且$c\equiv0$, 则
$$
\min_{\bar\Omega}u=\min_{\pt\Omega}u.
$$

thm:1相对于lem:1条件减弱了, 我们应该注意到其实, 它的结论也减弱了.
Remark 1. 当$Lu>0$时, 由lem:1我们知道, 此时存在$x_0\in\pt\Omega$, 使得$u(x_0)=\min_{\bar\Omega}u$, 因此自然有$\min_{\bar\Omega}u=\min_{\pt\Omega}u$. 但反过来, $\min_{\bar\Omega}u=\min_{\pt\Omega}u$, 并不能说明$u$在$\Omega$内部不能取得其在$\bar\Omega$上的极小值. 这就是说当条件减弱时, 结论其实也相应的减弱了.

Proof . 定理的证明有个技巧, 就是考察辅助函数$u_\eps=u-\eps e^{\lambda x_1}$, 这里$\lambda>0$待定. 直接计算有,
$$\begin{align*}
Lu_\eps&=Lu-\eps L(e^{\lambda x_1})
\geq-\eps e^{\lambda x_1}\left(-\lambda^2a^{11}+\lambda b^1 \right)\\
&=\eps e^{\lambda x_1}\left(\lambda^2a^{11}-\lambda b^1 \right)\\
&\geq\eps e^{\lambda x_1}\left(\lambda^2\theta-\lambda \|b\|_{L^\infty} \right),
\end{align*}$$
可见, 我们可以选取$\lambda$充分大(注意, $\lambda$独立于$\eps$), 使得$Lu_\eps>0$在$\Omega$上成立. 这样由lem:1知,
$$
\min_{\bar\Omega}u\geq \min_{\bar\Omega}u_\eps=\min_{\pt\Omega}u_\eps
\geq \min_{\pt\Omega}u+\min_{\pt\Omega}\left(-\eps e^{\lambda x_1}\right)
= \min_{\pt\Omega}u-\eps\max_{\pt\Omega}e^{\lambda x_1}.
$$
这样, 我们令$\eps\to0$便得到
$$
\min_{\bar\Omega}u=\min_{\pt\Omega}u.
$$

完全类似地, 我们可以得到$c\geq0$的情形.
Theorem 4. 假设在$\Omega$中$Lu\geq0$, 且$c\geq0$, 则
$$
\min_{\bar\Omega}u\geq\min_{\pt\Omega}(-u^-).
$$

这里, 我们仍然有条件减弱, 结论应该相应减弱的观察.
Remark 2. 当$Lu>0$时, 由lem:2自然蕴含着$\min_{\bar\Omega}u\geq\min_{\pt\Omega}(-u^-)$. 事实上, 反设$\min_{\bar\Omega}u<\min_{\pt\Omega}(-u^-)\leq0$, 则存在$x_0\in\bar\Omega$, 使得$u(x_0)=\min_{\bar\Omega}u<0$. 若$x_0\in\Omega$, 则说明$u$在$\Omega$内部取得极小且是非正的, 矛盾. 因而$x_0\in\pt\Omega$, 但由$u(x_0)<0$知$u(x_0)=-u^-(x_0)\geq \min_{\pt\Omega}(-u^-)$, 这也是矛盾的.

但是, 反过来, $\min_{\bar\Omega}u\geq\min_{\pt\Omega}(-u^-)$并不能推出$u$在$\Omega$内不能取得非正极小. 例如$u\equiv0$就是一个反例.


$c\geq0$情形下定理的证明并无实质区别. 因为这时我们有
$$
Lu_\eps\geq\eps e^{\lambda x_1}\left(\lambda^2\theta-\lambda \|b\|_{L^\infty} -c\right)
\geq\eps e^{\lambda x_1}\left(\lambda^2\theta-\lambda \|b\|_{L^\infty} -\|c\|_{L^\infty}\right),
$$
我们仍可取$\lambda$充分大(独立于$\eps$)使得$Lu_\eps>0$在$\Omega$上成立. 接下来的步骤同前.


最后, 我们作点思考:

  1. 对$Lu\leq0$的情形, 我们可通过考察$L(-u)\geq0$来得到相应的结论, 即把前面结论中的$u$换成$-u$即可.
  2. 我们能否确实构造一个例子说明$Lu\geq0$且$c\geq0$时, $u$能在$\Omega$内取得正的极小值?

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