活动标架的结构方程

假设$M$是一个黎曼流形, $\set{e_i}$是一个局部标架场, 其对偶标架场记为$\set{\omega^i}$. 则我们有如下的结构方程:
\[\begin{cases}
\rd \omega^i=-\omega^i_j\wedge\omega^j+\frac{1}{2}T_{kl}^i\omega^k\wedge\omega^l\\
\rd \omega^i_j=-\omega^i_k\wedge\omega^k_j+\Omega_j^i,
\end{cases}\]
其中$\omega^i_j$是联络1形式(回忆, 给定一个联络$\nabla$, 以及一个局部标架场$\set{e_i}$, 联络1形式$\set{\omega^i_j}$由下式定义:$\nabla_X(e_j)=\omega^i_j(X)e_i$.), $T_{kl}^i$是挠率张量的分量(回忆, 假设$M$是一个黎曼流形, $\nabla$是其上任一联络. 定义挠率张量$T$如下: $T(X,Y)=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]$, $X,Y\in\Gamma(TM)$, 这里$[X,Y]$是$X,Y$的李括号, 它把两个光滑向量场映射为一个光滑向量场, 其定义为$[X,Y]f=XYf-YXf$, 这里$f$为$M$上的光滑函数), 即$T(e_k,e_l)=T_{kl}^i e_i=\frac{1}{2}T_{pq}^i\omega^p\wedge\omega^q(e_k,e_l)e_i$, 这里规定$T_{pq}^i=-T^i_{qp}$.

$\Omega_j^i$称为曲率形式. 回忆, $(1,3)$型曲率张量定义为
\[
R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z,
\]
其分量由$R(e_i,e_j)e_k=R_{ijk}^le_l$得到, 即$R_{ijk}^l=\omega^l(R(e_i,e_j)e_k)$. 类似$T_{kl}^i=\frac{1}{2}T_{pq}^i\omega^p\wedge\omega^q(e_k,e_l)e_i$. 我们也有, $R_{klj}^i=\frac{1}{2}R_{pqj}^i\omega^p\wedge\omega^q(e_k,e_l)$, 这里的$\Omega_j^i=\frac{1}{2}R_{klj}^i\omega^k\wedge\omega^l$.

而$(0,4)$曲率张量$R$定义为
\[
R(X,Y,Z,W)=g(R(X,Y)Z,W),
\]
其分量为$R_{ijkl}=R(e_i,e_j,e_k,e_l)=g(R(e_i,e_j)e_k,e_l)=g(R_{ijk}^pe_p,e_l)=g_{pl}R^p_{ijk}$.

首先来看第一个式子, 我们只需对将其作用到基上即可:
\begin{align*}
\rd\omega^i(e_k,e_l)&=e_k\omega^i(e_l)-e_l\omega^i(e_k)-\omega^i([e_k,e_l])\\
&=\nabla_{e_k}(\omega^i(e_l))-\nabla_{e_l}(\omega^i(e_k))-\omega^i([e_k,e_l])\\
&=(\nabla_{e_k}\omega^i)(e_l)+\omega^i(\nabla_{e_k}e_l)-(\nabla_{e_l}\omega^i)(e_k)\\
&\qquad-\omega^i(\nabla_{e_l}e_k)-\omega^i([e_k,e_l])\\
&=-\omega^i_j(e_k)\omega^j(e_l)+\omega^i_j(e_l)\omega^j(e_k)+\omega^i(\nabla_{e_k}e_l)\\
&\qquad-\omega^i(\nabla_{e_l}e_k)-\omega^i([e_k,e_l])\\
&=-\omega^i_j\wedge\omega^j(e_k,e_l)+\omega^i(T(e_k,e_l))\\
&=\left(-\omega^i_j\wedge\omega^j+\frac{1}{2}T_{pq}^i\omega^p\wedge\omega^q\right)(e_k,e_l).
\end{align*}
其次, 来看第二式, 同样将其作用到基上:
\begin{align*}
\rd\omega^i_j(e_k,e_l)&=e_k(\omega^i_j(e_l))-e_l(\omega^i_j(e_k))-\omega^i_j([e_k,e_l])\\
&=\nabla_{e_k}(\omega^i(\nabla_{e_l}e_j))-\nabla_{e_l}(\omega^i(\nabla_{e_k}e_j))-\omega^i_j([e_k,e_l])\\
&=(\nabla_{e_k}\omega^i)(\nabla_{e_l}e_j)+\omega^i(\nabla_{e_k}(\nabla_{e_l}e_j))\\
&\qquad-
(\nabla_{e_l}\omega^i)(\nabla_{e_k}e_j)-\omega^i(\nabla_{e_l}(\nabla_{e_k}e_j))-\omega^i(\nabla_{[e_k,e_l]}e_j)\\
&=-\omega^i_p(e_k)\omega^p(\omega^q_j(e_l)e_q)+\omega^i_p(e_l)\omega^p(\omega_j^q(e_k)e_q)\\
&\qquad+\omega^i(\nabla_{e_k}\nabla_{e_l}e_j-\nabla_{e_l}\nabla_{e_k}e_j-\nabla_{[e_k,e_l]}e_j)\\
&=-\omega^i_p(e_k)\omega_j^p(e_l)+\omega^i_p(e_l)\omega^p_j(e_k)+\omega^i(R(e_k,e_l)e_j)\\
&=(-\omega^i_p\wedge\omega^p_j)(e_k,e_l)+\omega^i(R(e_k,e_l)e_j)\\
&=(-\omega^i_p\wedge\omega^p_j)(e_k,e_l)+R^i_{klj}\\
&=(-\omega^i_p\wedge\omega^p_j+\Omega_j^i)(e_k,e_l).
\end{align*}

发表评论