如何画一阶ODE的积分曲线

有时候, 我们不能对一个给定ODE解出其显示解, 那么画图大致知道其积分曲线的样子就很有帮助了.

直接来看一个例子:

Example 1. Example . 假设$f'(x)=\frac{1}{\frac{x^2}{4}-\ln(x)}$, $x>0$, 直接积分是有难度的. 我们转而考察其积分曲线.

  • 方法一: 直接利用这里的工具:
    在其中填入如下图所示(绘图区间都设置成0到10即可,下面还有部分设置没有截图出来, 其中 Range x-axis from与 Range x-axis from都设置成0到10)

    可以看到, 我设置了两个函数, 第一个选择的是Integral即积分曲线, 而第二个是函数本身的图像.
    效果见下图:
  • 方法二: 利用mathematica对于安装了数学软人, 可以这样 做 :


    图中, 红线表示流线图, 也即首先计算出给定网格点处的方向, 然后用短直线(也可能是贝塞尔曲线, 使其尽可能光滑)连接起来. 而蓝线表示利用数值解解出的积分曲线, 这两条曲线都通过$(2,7)$. 我特别设置了一个定位点, 你可以任意移动该点得到通过该点的流线曲线.

    从图中可以看到, 随着计算精度的不同, 得到的流线以及数值解都是不同的. 这表明无论哪种图形, 都只能作为原微分方程的近似解, 我们一般只能看出解的大致分布, 而不能作为严格的证明.

2 Comments

    • 重新做了下, 原来的取值范围以及作图范围有所不同.

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