量子杨米尔斯理论

译至Quantum Yang-Mills Theory, 它是The Millennium Prize Problems中的一个问题.


量子杨米尔斯理论 A. Jaffe & E. Witten 2006

物理规范理论

至20世纪早期, 人们已经认识到在亚原子尺度下描述自然规律需要量子力学. 在量子力学中, 一个粒子的位置和速度是作用在Hilbert空间的非交换算子, 而且像经典力学中的”粒子的轨迹”之类的说法已经没有意义了.

但是粒子的量子力学并不是故事的全部. 在19世纪以及20世纪早期的物理学中, 自然界的许多现象都用场的语言来表述, 例如Maxwell方程中的电磁场, Einstein方程刻画的重力场. 因为场和粒子有相互作用, 在20世纪20年代晚期, 人们已经清楚地意识到, 与粒子本身相关的性质应该像场一样, 引入量子力学的概念.

一旦这样做之后, 诸如电场在空时中不同的点的分量这样的量, 变成了不可交换的算子. 当人们试着去构造这些算子作用的Hilbert空间时, 会发现很多有趣的事情. 关于场与粒子的区别不再有意义, 因为量子场的这个Hilbert空间是用粒子激发的方式构造的. 传统的例子, 例如电子, 重新解释为量子化场的状态. 在这一过程中, 人们预测到”反物质”的存在性; 对每个粒子, 一定存在与之相对于的反粒子, 它和原粒子具有相同的质量但是相反的电荷. 在 P.A.M. Dirac (即保罗·狄拉克)基于量子力学预测反物质的存在性不久, 在宇宙射线中发现了”正电子”或者称为电子的反粒子.

貌似基本粒子物理学最重要的量子场论(QFTs)是规范理论. 经典的规范理论是Maxwell的电磁理论, 其规范对称群是Abel群$U(1)$. 如果记$A$为$U(1)$规范联络, 在局部它是空时上的一个1形式, 则与之相对的曲率或者电磁场张量是2形式$F=dA$, 而麦克斯韦方程在没有电荷和电流的情况下就是$0=dF=d\ast F$. 这里$\ast$为Hodge对偶算子; 事实上, Hodge正是将Maxwell方程的解推广到调和形式而建立了著名的Hodge理论. Maxwell方程描述的是大范围的电磁场以及, 正如Maxwell发现的那样, 光波以一个典型的速度传播, 即光速.

规范理论的思想源至Hermann Weyl的工作, 请参考1中关于规范对称与发现杨米尔斯理论的一个有趣的讨论, 关于杨米尔斯理论的发现参考2, 它也称为”非交换的规范理论”. 在经典的理论中, 将电磁场的规范群$U(1)$换成一般的紧规范群$G$. 由联络定义曲率的式子这时必须改成$F=dA+A\wedge A$, 而Maxwell方程由Yang-Mills方程$0=d_Af=d_A\ast F$取代, 其中$d_A$是外微分算子的规范共变延拓.

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