流形上Laplace算子局部表达式

一般张量场的散度

假设$(M,g)$是一个黎曼流形, 对任意的$S\in \Gamma(T_s^rM)$是一个$r$阶反变, $s$阶协变张量场.
$\newcommand{\ppt}[1]{\frac{\pt}{\pt{#1}}}$
我们可以定义$S$的散度如下:
$$
\div(S)=\tr(X\to\nabla_X S),
$$
其中$X\in\Gamma(TM)$. 它是$\Gamma(T^r_sM)\to\Gamma(T^{r-1}_sM)$的线性映射.

在局部坐标系下, 我们假设$$S=S_{j_1j_2\ldots j_s}^{i_1i_2\ldots i_r}\ppt{x^{i_1}}\otimes \ppt{x^{i_2}}\otimes\cdots\otimes \ppt{x^{i_r}}\otimes \rd x^{j_1}\otimes\rd x^{j_2}\cdots\otimes\rd x^{j_s},$$

$$\begin{align*}
[\div(S)]_{j_1j_2\ldots j_s}^{i_1i_2\ldots i_{r-1}}&
=[\div(S)]\bigg(\rd x^{i_1},\rd x^{i_2},\cdots,\rd x^{i_{r-1}},\ppt{x^{j_1}},\ppt{x^{j_2}},\cdots,\ppt{x^{j_s}}\bigg)\\
&=\tr\left(X\mapsto(\nabla_X S)\bigg(\rd x^{i_1},\cdots,\rd x^{i_{r-1}},\ppt{x^{j_1}},\cdots,\ppt{x^{j_s}}\bigg)\right)\\
&=g^{ij}\bigg\langle\ppt{x^{i}},
\left(\nabla_{\ppt{x^j}}S\right)
\bigg(\rd x^{i_1},\cdots,\rd x^{i_{r-1}},\ppt{x^{j_1}},\cdots,\ppt{x^{j_s}}\bigg)\bigg\rangle\\
&=g^{ij}\bigg\langle
\ppt{x^{i}},S^{i_1i_2\ldots i_{r-1}i_r}_{j_1j_2\ldots j_s;j}\ppt{x^{i_r}}
\bigg\rangle\\
&=S^{i_1i_2\ldots i_{r-1}j}_{j_1j_2\ldots j_s;j}.
\end{align*}$$

切向量场的散度

特别地, 对$S\in\Gamma(TM)$, $S=S^i\ppt{x^i}$, 有

$$
\div(S)=S^i_{;i}=\frac{\pt S^i}{\pt x^i}+S^k\Gamma_{ki}^i,
$$
这里$\Gamma_{ki}^i$为度量$g$决定的Christoffel, 它用$g$可以表示为
$$
\Gamma_{ki}^i=\frac{1}{2}g^{il}\left\{
\pt_kg_{li}+\pt_{i}g_{kl}-\pt_l g_{ki}
\right\}=\frac{1}{2}g^{il}\pt_kg_{li}.
$$
若记$G=\det(g_{ij})$, 则按照行列式的求导法则, 有
$$
\pt_k G=(\pt_k g_{li})\cdot(g^{il}G),
$$
这可以改写成
$$
\pt_k\log G=g^{il}\pt_k g_{li}.
$$
因此
$$
\Gamma_{ki}^i=\frac{1}{2}\pt_k\log G=\pt_k\log\sqrt{G}=\frac{1}{\sqrt G}\pt_k\sqrt{G}.
$$

函数的梯度场的散度

再次, 特别地, 假设$S=\mathrm{grad} f$为一个光滑函数的梯度场, 则按照梯度的定义$Xf=g(X,\mathrm{grad}f),\quad\forall X\in\Gamma(TM),$
知$\mathrm{grad}f=g^{ij}\pt_i f\ppt{x^j}:=f^j\pt_j$, 这样

$$\begin{align*}
\div S&=\div(\mathrm{grad} f)
=f^j_{;j}\\
&=\pt_j f^j+f^j\frac{1}{\sqrt G}\pt_j\sqrt{G}\\
&=\frac{1}{\sqrt G}\pt_j(f^j\sqrt{G})\\
&=\frac{1}{\sqrt G}\pt_j\bigg(\sqrt{G}g^{ij}\ppt{x^i} f\bigg).
\end{align*}$$

Definition .假设$f\in C^\infty(M)$, 则Laplac-Beltrami算子定义为:

$$\Delta f:=-\div(\mathrm{grad}f).$$

分部积分公式

假设$h\in C^\infty_0(M)$, 即为$M$上具有紧支集的光滑函数. 则由散度定理有:

$$
\int_M\Delta f h \;\rd v_g=-\int_M\div(\mathrm{grad}f)h\rd v_g
=\int_M\langle\mathrm{grad}f,\mathrm{grad}h\rangle\rd v_g,
$$
这是因为, $\div (hX)=h \div X+Xh,\forall X\in\Gamma(TM)$.

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