几何分析中的变分问题与方法

这是丁伟岳院士的一个Talk, 原文链接在其主页上有: 几何分析中的变分问题与方法.

1. 历史的回顾:1960年以前 变分法有很长的历史,如果从欧拉和拉格朗日提出以他们的名字命名的变分方程算起,至今己有250年的历史。在开始的时候,变分法的创立和应用主要是围绕物理学(力学,光学,天文学等等 )中的各种变分问题。比如,与拉普拉斯方程相联系 的Dirichlet原理就是在研究引力或电场的位势时提出的。
变分法对于几何的应用在早期主要是对曲面上的测地线和欧氏空间中给定边界的极小曲面(Plateau问题 )的研究。但在很长时期内仅限于一些特殊情形,没有重要进展。
直到上世纪早期,为了研究曲面上的测地线的个 数,Morse(20-30年代)和俄国数学家(40年代)分别建立了Morse和 Ljusternik-Schnirelman理论。其中,Morse理论不仅对变分问题的解的个数估计有许多应用而且在流形的拓扑问题有重要应用。
1930年代,Douglas和Rado分别给出了Plateau问题(圆盘情形)的解答。Douglas因此获得了1936年的第一届Fields奖。这个本来是面积泛函极小化的问题,被化为Dirichlet积分极小化问题;然后利用Dirichlet积分的共形不变性,圆盘自身的共形变换,以及分析的技巧,来构造分析上可控的极小化序列。这可以说是在变分问题中应用几何方法(共形几何)的第一个例子。这种方法本质上是一种典型的几何分析的方法,即把几何与分析自然地结合起来的方法。

$$\begin{cases}
u:D^2\to\R^n, u(\pt D)=\Gamma\subset\R^n\\
\Delta u=0\\
|u_x|^2-|u_y|^2=u_x\cdot u_y=0\quad (\text{Conformality})
\end{cases}$$
2. 历史的回顾:上世纪60年代 60年代从许多方面来看是现代数学发展的一个重要时期。但我们只能涉及几个有关的重要工作。

  1. Palais把Morse理论和Ljusternik-Schnirelman理论推广到无穷维的Banach流形,并同Smale一起提出了Palais-Smale紧性条件。(1963-66)
  2. Eells与Sampson发表了开创性的论文”Harmonic mappings of Riemannian manifolds”(1964)。从此,调和映射作为一个几何变分问题开始引起人们关注.

    Let $(M; g)$ be a Riemannian manifold, and $N\subset \R^N$ be a

    submanifold of $\R^N$. A mapping $u_0 : M\to N$ is called harmonic

    map iff it is a critical point of the following energy functional

    $$
    E(u)=\int_M|\nabla u|^2_g\rd V_g
    $$

    where in local coordinates

    $$\begin{gather*}
    |\nabla u|^2_g=g^{ij}\inner{\frac{\pt u}{\pt x^i},\frac{\pt u}{\pt x^j}}\\
    \rd V_g=\sqrt{\det(g_{ij})}\rd x
    \end{gather*}$$

    The Euler-Lagrange operator of $E(u)$ is called ‘tension field’,

    denoted $\tau(u)$, which is elliptic, and if $N = S^{N-1}$ is the round

    sphere,

    $$
    \tau (u)=\Delta_g u+|\nabla u|_g^2 u.
    $$

为了得到调和映射的存在性,Eells-Sampson引入了”调和映射的热方程“:

$$
u_t = τ(u)
$$

作为$E(u)$的一个”负梯度流”。
他们证明 如果$N$的”截面曲率$≤0$”,则任给$u_0 \in C^1(M,N)$, 热方程以$u_0$为初值的解长时间存在,并且当$t → 0$时收敛到与$u_0$同伦的调和映射$u_\infty$。
现在,热流方法己在许多几何问题中得以应用,包括在解决Poincare猜想中起重要作用的Ricci流。
3. 极小曲面的Bernstein问题
考虑$\R^n$上的极小曲面方程
$$
\div \left(\frac{\nabla u}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}}\right)=0.
$$
Berstein在1915年就证明如果$n=2$, 则任何整体解必须是线性函数。如果$u$是一个解,则其图像
$$
G(u)= \set{(x, u(x)) \in\R^{n+1} |x \in\R^n}
$$
是一极小曲面,或称”极小图”。Berstein的结果说平面上的极小图一定是平面。
把Berstein定理推广到$n> 2$的努力一直没有结果,直到1962年Fleming提出了一个新的方法。
设$u$是一个解,则
$$
u_R(x)= \frac{1}{R}u(Rx)
$$
也是解。Fleming证明,如果$u$是非线性的,$u_R$的图当$R \to\infty$时将收敛于一个$R^{n+1}$中的”奇异极小Cone”$\Sigma$。于是问题化为 $R^{n+1}$中是否有这样的Cone。
这个方法可以称为”Blow down”, 即通过尺度变换把解在无穷远的渐近行为拉回来。沿着这个路线,Bombieri-De Giorgi-Giusti在1969年完全解决了Berstein问题,结论是

当$n\leq 7$, $u$一定是线性的;当$n\geq 8$,存在非线性解。

3. 70-80年代 70年代初,Rabinowitz, Ambrosetti等开始把Palais-Smale发展的无穷维临界点理论应用于微分方程问题,主要是半线性椭圆方程的边值问题解的存在性和多重性和Hamilton系统周期解的存在性。这些工作对于非线性泛函分析产生了重要影响,在短短几年内这个方向的进展突飞猛进。当时的领袖是Nirenberg,他在1974年的非线性泛函分析的一个讲义中几乎没有提及变分法,而在1981年的Bulletin综述文章中用了近一半的篇幅来总结这个方向上的成果。
以张恭庆为首的中国数学家在80年代初开始赶上来,做了一些好的工作。
现在来看70年代最重要的是Rabinowitz关于Hamilton系统周期解的工作。受这一工作的影响,Weistein提出了Weistein猜想;这个猜想与Arnold猜想对辛几何的发展有很大推动。
随后,在80年代,一系列重要的几何变分问题取得了出人意料的进展; 同时,许多重要的非线性分析方法被发现出来。

  1. 2维调和映射问题。在70年代末-80年代初,Sacks-Uhlenback研究了从闭曲面$M$到任意紧致流形的调和映射的存在性问题。由于 $dim M=2$, 这个问题具有所谓”共形不变性”。他们的方法简述如下
    • 用扰动变分问题来逼近。令$α> 1$,考虑$$
      E_\alpha(u)=\int_M\left[(1+|\nabla u|^2)^\alpha-1 \right]\rd V_g
      $$

      在$α =1$时,$E_1(u)= E(u)$;而在$α> 1$时,这是很好的泛函,满足PS条件。所以可以先用临界点理论找出临界点$u_α$ ($α> 1$),再讨论当$α \to1$时,$u_α$的收敛性。

    • 在研究收敛性时,Sacks-Uhlenback发现,除了个别$M$上的”奇异点”外,$u_α$可以很好收敛。引起收敛被破坏的唯一原因是能量在”奇异点”的任意小邻域内集中。但是,当用”Blow up“的办法把这些点的小邻域”吹大时”,(这是同前面提到的”Blow down“类似,但相反的极限过程),被相应吹大的$u_α$的极限等同于一个非平凡的调和球面。所以,调和球面的存在在一定意义下是收敛性的障碍.他们的分析现在被称为”Sacks-Uhlenback方法”,或”Blow up分析”。 这是处理许多共形不变的非线性问题非常有效的重要方法。

      与这一方法相联系的还有一些重要的分析技巧,如”$\eps$−正则性“估计;”孤立奇点可去定理“等。

  2. 关于调和映射的进一步研究。
    • Scheon-Uhlenback (1982)把上述Sacks-Uhlenback的思想和方法用于一般维数的极小化调和映射的正则性的研究。他们引入了一些新的方法,如用能量的”单调性公式”来推导$\eps$−正则性;用几何测度论的思想进行维数约化,等等。他们的结果揭示极小化调和映射的奇点的存在以及奇点集的Hausdorff维数是与(各种维数的)调和球面的存在密切相关。
    • Struwe研究了2维调和映射热流的存在及其性质,特别是把Sacks-Uhlenback的Blow up分析用来研究奇点的性质(1985); 继而他又发现了高维调和映射热流的单调性公式,并同陈韵梅一起 证明了热流的整体弱解的存在性及其部分正则性(1988,1989)。调和映射可以说是最简单的几何变分问题,但是在研究这个问题的过程中所产生的思想和分析方法对于其他的非线性几何问题有很大的影响。在整个80年代中这类问题的研究极为丰富多采,我们只能简略地谈一下。

3.1. Yamabe问题。 The Yamabe quotient:

$$
Y(u)=\frac{\int_M(|\nabla u|^2+\gamma_n Ru^2)\rd V}{(\int_M|u|^{p+1}\rd V)^{1/(p+1)}}
$$

where $\gamma_n =\frac{1}{4}(n − 2)/(n − 1)$, $p =(n + 2)/(n − 2)$, $n = \dim M$, and $R$ is the scalar curvature of $M$.

$$
Y_M = \inf\set{Y (u): u \in H^1(M),u\neq 0 }
$$

T. Aubin在1976年证明:如果

$$
Y_M < Y_{S^n}
$$

则$Y_M$可以达到. 1984年,R. Schoen最终证明:对所有的闭黎曼流形,$Y_M$可以达到 .其几何意义是:在任何度量的共形类中,存在常数量曲率的度量.
Schoen的证明出人意料地把”正质量定理”同共形拉普拉斯算子的格林函数的渐进展开联系在一起.
3.2. Yang-Mills方程 这是关于主丛(其底空间是一个黎曼流形$M$)上的联络$A$的变分方程,所对应的泛函是

$$
Y_M(A)= \int_M|F_A|^2\rd V
$$

其中$F_A$是$A$的曲率. Yang-Mills方程是一2阶偏微分方程

$$
d * F_A =0
$$

但是$YM$的极小解满足1阶方程:

$$
∗F_A = ±F_A
$$

称为”瞬子”(instantons).
在$\dim M =4$时,这个问题是共形不变的(类似于2维调和映射问题). Uhlenback (1982)为这一问题建立了分析基础. Taubes (1982)在Sacks-Uhlenback方法的启发下,第一次建立了瞬子解的存在性定理.
Taubes的方法是创造性的,可以称为”奇异隐函数定理“.
We want to solve
$$
F (u)=0
$$

and we can construct approximate solutions such that

$$
F (u_j)= h_j
$$

with

$$
\|h_j\|_0 \to0, \quad \|u_j\|_1 \to\infty
$$

Taubes proved that if $h_j$ go to $0$ sufficiently fast comparing with the divergent rate of $u_j$, then we can apply the Implicit Function Theorem to get a family of solutions under certain conditions on the $F$.
基于Uhlenback和Taubes的工作,Donaldson (1983)把YangMills方程的理论应用于 4微微分拓扑,取得巨大成功,并因此获菲尔兹奖.
3.3. Floer理论 Floer理论起始于对Arnold猜想的研究(1987-1989). 设$M$是一个紧致的”辛流形”(Symplectic manifold), 则对任给的$M$上的函数可以定义Hamilton向量场及其产生的Hamilton流,通常称为Hamilton系统Arnold猜测:
Hamilton系统的周期轨道的个数不会少于$M$上函数的临界点的最少个数.
Floer的思想极富创造性. 在”非退化”的假定下, 他构造了关于Hamilton系统及其周期轨道的(无穷维空间上的)Morse复形,进而构造出Floer同调群,并证明这个同调群与$M$的同调群同构. 由此得出结论: 如果Hamilton系统的周期轨道全是非退化的,则轨道数目不少于$M$的Betti数之和.
Floer理论的思想被应用到许多方面,如低维流形的拓扑,代数几何,数学物理.
非线性分析的思想与方法经过60-70年代的准备之后,在80年代的发展是惊人的。
几何变分问题对于推动这些重要发展起了极大的作用。
与以前的非线性泛函分析不同,我们很难把这些思想方法总结成为普遍适用的理论。因为它们在不同的问题中会以非常不同的形式出现,而且与其他数学方法结合成一体。
4. 结论

数学的发展必须以好的数学问题为引导.

谢谢!

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