标准的椭圆理论:一个能量不等式

Proposition 1. 假设$u$是方程
$$
0=\Delta u-\frac{1}{2}x\cdot \nabla u.
$$
的光滑解, 则我们有如下的能量不等式:
$$\begin{equation}
\int_{|x|< r}e^{-\frac{|x|^2}{4}}|\nabla u|^2\rd x\leq\frac{c}{r^2}\int_{r< |x|< 2r}e^{-\frac{|x|^2}{4}}u^2\rd x,\quad\forall r >0.
\end{equation}$$

Proof . 假设$\xi$是支在$|x|<2$的截断函数, 且$\xi\equiv1$, $\forall |x|<1$. 在方程两边同乘$\phi\in C_0^\infty$, 分部积分有
$$
0=\int e^{-\frac{|x|^2}{4}}\nabla u\cdot\nabla\phi\rd x,
$$
特别, 令$\phi=\xi u$,
$$\begin{align*}
0&=\int e^{-\frac{|x|^2}{4}}(|\nabla u|^2\xi+u\nabla u\cdot\nabla \xi)\rd x\\
&=\int e^{-\frac{|x|^2}{4}}\left(|\nabla u|^2\xi+|\nabla u|\xi^{\frac{1}{2}}\cdot \frac{u \nabla \xi}{\xi^{\frac{1}{2}}}\right)\\
&\geq \int e^{-\frac{|x|^2}{4}}\left(
|\nabla u|^2\xi-\frac{1}{2}|\nabla u|^2\xi-\frac{1}{2}u^2\frac{|\nabla \xi|^2}{\xi}
\right)\\
&= \int e^{-\frac{|x|^2}{4}}\left(
\frac{1}{2}|\nabla u|^2\xi-\frac{1}{2}u^2\frac{|\nabla\xi|^2}{\xi}
\right),
\end{align*}$$
现在, 令$\eta=\xi^2$, 利用上式, 有
$$\begin{align*}
\int_{|x| < r} e^{-\frac{|x|^2}{4}}|\nabla u|^2&\leq\int e^{-\frac{|x|^2}{4}}\eta|\nabla u|^2\rd x\leq\int e^{-\frac{|x|^2}{4}}u^2\frac{|\nabla\eta|^2}{\eta}\\
&=4\int e^{-\frac{|x|^2}{4}}u^2|\nabla\xi|^2\\
&\leq\frac{C}{r^2}\int_{r < |x| < 2r} e^{-\frac{|x|^2}{4}}u^2\rd x.
\end{align*}$$
最后一步, 我们利用了截断函数的性质.

非常感谢老师提供的证明.

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